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专题10导数解答题分类练
一、曲线的切线问题
1.（2023届河南省开封市通许县高三冲刺卷）已知函数．
(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
2．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)试争辩函数的单调性.
3．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考）已知函数.
(1)设，经过点作函数图像的切线，求切线的方程；
(2)若函数有极大值，无最大值，求实数的取值范围.
4.（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数的微小值为，其导函数的图象经过，两点.
(1)求的解析式；
(2)若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围.
5.（2024届上海市华东师范高校其次附属中学高三上学期质量调研）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称切线是的一条“切线”.
(1)推断函数是否存在“切线”，若存在，请写出一条“切线”的方程，若不存在，请说明理由；
(2)设，若对任意正实数，函数都存在“切线”，求实数的取值范围；
(3)已知实数，函数，求证：函数存在无穷多条“切线”，且至少一条“切线”的切点的横坐标不超过.
二、含参函数的单调性问题
6.（2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考）已知函数.
(1)争辩的单调性；
(2)证明：当时，.
7.（2024届江西省丰城厚一学校高三上学期9月月考）已知函数，.
(1)争辩函数的单调性；
(2)证明：当时，，使得.
8.（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期9月月考）已知a为实常数，函数（其中为自然对数的底数）
(1)争辩函数的单调性；
(2)设，函数有两个零点，求实数a的取值范围．
9.（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研测试）已知函数．
(1)争辩函数的单调性；
(2)求证：当时，．
10.（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数．
(1)争辩的单调性；
(2)证明：当时，．
三、函数零点与方程实根个数问题
11.（2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）已知函数．
(1)当时，求函数的微小值；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．
12.（2023届海南省海口市高三下学期同学学科力量诊断）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若函数至少有两个不同的零点，求实数m的最小值.
13.（2024届北京市陈经纶中学高三上学期9月阶段性诊断）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，推断在零点的个数，并说明理由．
14.（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数．
(1)求证：曲线仅有一条过原点的切线；
(2)若时，关于的方程有唯一解，求实数的取值范围．
四、不等式恒成立问题
15.（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
16.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）已知函数（）．
(1)若在上恒成立，求a的取值范围：
(2)设，，为函数的两个零点，证明：．
17.（2024届上海市育才中学高三上学期第一次调研检测）已知函数，为的导数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：在区间存在唯一零点；
(3)若时，，求a的取值范围．
18.（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)若实数满足且，证明：.
19.（2024届辽宁省朝阳高三上学期9月联考）已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
五、不等式证明
20.（2024届云南省大理高三区域性规模化统一检测）已知函数．
(1)争辩的极值；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：．
21.（2023届陕西省西安市第八十三中学等校高三二轮复习联考）已知函数，．
(1)求的极值；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
22.（2024届湖南省长沙市高三上学期其次次阶段性测试）函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，已知方程有两个不同的实根，，证明：.（其中是自然对数的底数）
23.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真测试）已知函数，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：．
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