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1980年全国统一高考数学试卷（理科）

一、解答题（共10小题，满分0分）

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1．（6分）将多项式xy﹣9xy分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）

复数范围．

2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角

形．

3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

4．（10分）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．

5．（10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直

线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．

6．（12分）设三角函数，其中k≠0．

（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；

（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）

至少有一个值是M与一个值是m．

7．（14分）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比

数列，求∠B（用反三角函数表示）．

8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．

2

9．（18分）抛物线的方程是y=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位

2

置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x，y）是抛物线y=2px上一点，则抛物

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线在P点处的切线斜率是）．

10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是

（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．

1980年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题，满分0分）

55

1．（6分）将多项式xy﹣9xy分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）

复数范围．

考点：虚数单位i及其性质．

专题：计算题．

分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．

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解答：解：（1）xy﹣9xy=xy（x+3y）（x﹣3y）．

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（2）xy﹣9xy=xy（x+3y）（x+y）（x﹣y）．

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（3）xy﹣9xy=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．

点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．

2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角

形．

考点：圆与圆的位置关系及其判定．

专题：证明题．

分析：根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，