勾股定理的应用十种最常考类型（解析版） 八年级数学下册专题训练.pdf

专题05勾股定理的应用十种最常考类型（解析版）

类型一大树折断问题

【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树

顶端刚好落在地面上，此处离树底部8m处．

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【思路引领】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得6+x＝（16﹣6），再解即可．

【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：

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6+x＝（16﹣6），

解得：x＝8，x＝﹣8（不合题意舍去）．

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故答案为：8．

【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平

方和等于斜边的平方．

【变式训练】

1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折

者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问

折断处离地面（）尺．

A．4B．3.6C．4.5D．4.55

【思路引领】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即

可．

【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，

设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，

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在Rt△ABC中，由勾股定理得：x+3＝（10﹣x），

解得：x＝4.55，

即折断处离地面4.55尺．

故选：D．

【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．

类型二水杯中的筷子问题及类似问题

【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面

盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小

忽略不计）的取值范围是（）

A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13

【思路引领】如图，过A作AB⊥BC于B，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：如图，过A作AB⊥BC于B，

∵下底面半径是5，高是12，

∴AB＝12，BC＝5，

2222

∴AC=+=12+5=13，

∴a的长度的取值范围是12≤a≤13，

故选A．

【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，

它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为

（）尺．

A．10B．12C．13D．14

【思路引领】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．

【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，

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根据勾股定理得：x+（）＝（x+1），

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解得：x＝12，

芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），

答：芦苇长13尺．

故选：C．

【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

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