高数下7.4二阶线性微分方程解的结构.pptVIP

二阶线性微分方程解的定理证由定理的假设,有由于恒等式两边的实部与虚部分别相等,所以从而证得结论.例如,如果已知方程二阶线性微分方程解的定理从而证得结论.例如,如果已知方程二阶线性微分方程解的定理从而证得结论.例如,如果已知方程的特解为则分别是方程的特解.例3已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：解由题设知,次线性方程的两个线性无关的解,且非齐次线性方程的一个特解,求此方程的通解;写出此微分方程;求此微分方程满足的特解.是相应齐故所求方程的通解为是其中例3已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：解求此方程的通解;写出此微分方程;求此微分方程满足的特解.因所以从这两个式子中消去即所求方程为①②例3已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：解求此方程的通解;写出此微分方程;求此微分方程满足的特解.因所以①②得从而所求特解为代入初始条件在①,②三、二阶变系数线性微分方程的求解降阶法和常数变易法。方程的系数P(x)Q(x)都是随x变化的，两种方法-----下面介绍求解二阶变系数非齐次线性方程(1)解的对于这种变系数的线性方程，求解一般是很困难的。解变系数线性微分方程的降阶法设是方程(1)的一个已知非零特解,作变量替换其中为待定函数,求的一阶和二阶导数,得解变系数线性微分方程的降阶法解变系数线性微分方程的降阶法把它们代入(1)式,得再作变量替换得解变系数线性微分方程的降阶法解变系数线性微分方程的降阶法分离变量得两边积分得为任意常数).对积分,得为任意常数).代回原变量,就得到方程(1)的通解解变系数线性微分方程的降阶法为任意常数).代回原变量,就得到方程(1)的通解解变系数线性微分方程的降阶法为任意常数).代回原变量,就得到方程(1)的通解这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式.综上所述,对于二阶齐次线性方程,若已知其一个非零特解,作变量替换就可将其降为一阶齐次线性方程,从而求得通解.解变系数线性微分方程的降阶法令C1=0，C2=1，便得到方程(1)的另一个特解。利用刘维尔公式，可以求得二阶齐次线性方程的即若已知二阶齐次线性方程的一个非零解，那么另一个无关解。在齐次线性方程(1)的通解中降阶法本质上是常数变易法。例4已知是方程个解,解作变换则有代入题设方程,试求方程的通解.有并注意到是题设方程的解,的一并整理,将代入,得例4已知是方程个解,解试求方程的通解.的一并整理,将代入,得例4已知是方程个解,解试求方程的通解.的一并整理,将代入,得故所求通解为其中为任意常数.例5.已知是齐次方程的解求非齐次方程的通解.解令则代入非齐次方程得即直接积分得再积分得降阶法同样适用于二阶非齐次线性方程.例5.已知是齐次方程的解求非齐次方程的通解.解直接积分得再积分得例5.已知是齐次方程的解求非齐次方程的通解.解直接积分得再积分得即故所求通解为常数变易法设有二阶非齐次线性方程如果其对应的齐次方程的通解为则可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通设非齐次方程(1)的特解为其中是两个待定函数,对解:求导数,得常数变易法求导数,得常数变易法求导数,得把(2)代入(1)中,可得到确定的一个方程.因为这里有两个未知函数,所以还需添加一个条件.为计算方便,我们补充如下条件:这样,代入方程(1)中,经整理得与补充条件联立,得方程组常数变易法与补充条件联立,得方程组常数变易法与补充条件联立,得方程组因为线性无关,故其系数行列式所以上述方程组有唯一解.解得常数变易法常数变易法积分并取其一个原函数,得于是,所求特解为所求方程(1)的通解例6求方程的通解.解由即从而得到对应齐次方程的通解先求对应的齐次方程的通解.(可降阶方程)例6求方程的通解.解从而得到对应齐次方程的通解例6求方程的通解.解从而得到对应齐次方程的通解将换成待定函根据常数变易法,满足下列方程组数为求非齐次方程的一个解,设积分并取其一个原函数得于是,题设原方程的一个特解为二、线性微分方程解的结构三、二阶变系数线性方程的解法第五节二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程的概念一、二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的一般形式是其中