2024版新教材高考数学全程一轮总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第六节二项分布超几何分布与正.pdfVIP

第六节二项分布、超几何分布与正态分布

【课标标准】1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际

问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变

量，了解正态分布的均值、方差及其含义．

必备知识·夯实双基

知识梳理

1.n重伯努利试验

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n

次所组成的随机试验称为________________．

2．二项分布

(1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，

用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n，

则称随机变量X服从二项分布，记作____________．

(2)均值与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．

3．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放

回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m

＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如

果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

4．正态分布

(1)正态曲线

函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，

称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．特别地，当μ＝0，σ＝1时，相应曲线称

为标准正态曲线．

(2)正态曲线特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．

②曲线与x轴之间的区域的面积为____________．

③曲线是单峰的，它关于直线________对称．

④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值).

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．

⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示

随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较

分散，如图(2)所示．

(3)正态分布的定义及表示

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，则称随机变量X服从

正态分布，记为____________．

(4)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

(5)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．

[常用结论]

1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．

2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问

题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．

3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n

重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．

4．超几何分布也可记为X～H(n，M，N)，则E(X)＝.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×)”

(1)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项展开式的通项，其中a＝p，b

＝1－p.()

(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()

(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．()

(4)正态分布是对于连续