新人教版必修四高中数学探究导学课型第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件.pptVIP

2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;【自主预习】

主题1:平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).据此回答下列问题:

(1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴,y轴的正向同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示?

提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.;(2)在问题(1)的基础上,计算a·b,你能得到什么结论?

用文字语言描述:_________________________________

_______________.

?

用坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=________.;主题2:平面向量模的坐标表示

1.若a=(x,y),怎样利用平面向量数量积的坐标表示|a|?

提示:由数量积的定义及性质即可.

2.若已知向量a的起点和终点的坐标,则|a|如何表示?

提示:可先求出a的坐标然后再求|a|.;总结以上探究,试着写出向量模的坐标表示:

1.若a=(x,y),则|a|=

2.若向量a的起点与终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则|a|=__________________.;主题3:平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示

1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则如何寻找x1,y1,

x2,y2之间的关系?

提示:由a⊥b得a·b=0.从而得到关系.;2.设a·b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与

b的夹角,那么cosθ如何用坐标表示?

提示:由cosθ=,再将模及数量积分别用坐标表示

即可.;结合以上探究,试着写出向量垂直与向量夹角的余弦的

坐标表示

向量垂直的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b

?__________.

?;两向量夹角的坐标表示:设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),

b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=______________;【深度思考】

结合教材P107例6你认为应怎样求向量a与b的夹角?

第一步:_______________________;

第二步:________________________________________；

第三步:________________________________________.;【预习小测】

1.若a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为()

【解析】选A.设a与b的夹角为θ,

则cosθ=;2.已知a=(x,1),b=(1,-2),若a⊥b,则x=()

A.2 B.1 C.3 D.-2

【解析】选A.因为a⊥b,所以x+1×(-2)=0,即x=2.;3.若a=(1,1),b=(-3,4).则a·b=.

【解析】a·b=1×(-3)+1×4=1.

答案:1;4.已知a=(3,2),b=(5,-7),则(a+b)·(a-b)=.

【解析】a+b=(8,-5),a-b=(-2,9),

所以(a+b)·(a-b)=8×(-2)+(-5)×9=-61.

答案:-61;5.若A(4,-4),B(1,3),则||=.

【解析】=(-3,7),则

答案:;【备选训练】已知a=(4,3),b=(-1,2).求a与b的夹角θ的余弦值.(仿照???材P107例6的解析过程)

【解析】因为a·b=4×(-1)+3×2=2,

所以cosθ=;【互动探究】

1.向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗?

提示:适用.无论是零向量,还是非零向量,均可使用向量数量积的坐标公式.;2.向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数量积的方法有什么不同?

提示:向量有几何表示法、代数表示法和坐标表示法三种方法.几何表示法、代数表示法表示向量时,用数量积的定义计算数量积,坐标表示法表示向量时,用数量积的坐标运算求数量积.;3.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),求|a+b|时可用哪些方法?

提示:方法一:可先求a+b的坐标,再求|a+b|;方法二:可利用|a+b|2=a2+2a·b+b2求解.;4.对任意的向量a与b,向量夹角的坐标公式及垂直的坐

标公式都成立吗?

提示:不一定.当a=(0,0)时,|a|=0,此时,cosθ=

无意义,但夹角为0°;同时,a·b=

x1x2+y1y2=0,但向量a与b不垂直,而是a∥b.;故向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是a≠0且b≠0.;5.如何利用向量数量积的坐标形式的运算,确定两个非零向量夹角的范围?

提示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,

则:(1)当x1x2+