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复习：n阶行列式的定义定义n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
第二节.行列式的性质性质1|AT|=|A|.记|A|=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…anna11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann,|AT|=性质2性质30一.行列式的性质
性质4性质5性质6性质7性质8？0性质9行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零.
例１二.行列式的主要计算方法1.化为三角形行列式
解
例2.设|A|=|A1A2A3A4|=3,Ai?R4?1,求|B|=|A2+A3A1?2A3?A42A1|=？=4(?1)3|A|=?12.2.化为已知行列式的关系式解:|B|=|A2+A3A1?2A3?A42A1|=|A2+A3?2A3?A42A1|?(?1/2)?(1/2)=|A2?2A3?A42A1|=4|A2A3A4A1|
3111131111311113例36666131111311113=1111131111311113=6?(?1)1111020000200002=6=48.
例4计算阶行列式将第都加到第一列得特点：其每一行的元素之和相等。解
例6.设D=a11…a1mam1…ammD1=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ri+krj,把D1化为下三角行列式=p11pm1…pmm…...=p11…pmm,D2=,b11…b1nbn1…bnn……a11…a1m0…0……,am1…amm0…0c11…c1mb11…b1ncn1…cnmbn1…bnna11…a1mam1…ammD1=……对D2施行ci+kcj这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…b1nbn1…bnnD2=……=q11qn1…qnn…...=q11…qnn,??
于是对D的前m行施行上述ri+krj运算,再对D的后n列施行上述施行ci+kcj运算,可得:p11pm1…pmmc11…c1mq11cn1…cnmqn1…qnn.…………=.....0=p11…pmmq11…qnna11…a1m0…0……D=am1…amm0…0c11…c1mb11…b1ncn1…cnmbn1…bnn=D1D2.
对于n元线性方程组记D=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann,D1=b1a12…a1nb2a22…a2n…………bnan2…ann,D2=a11b1…a1na21b2…a2n…………an1bn…ann,…,Dn=.a11a12…b1a21a22…b2…………an1an2…bn三、克莱姆法则
其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为（2）
当D=0,我们以后再讨论。定理1如
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