北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第3章 导数及其应用 解答题专项一 第3课时 利用导数研究函数的零点.ppt

第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项一

考向1判断、证明或讨论函数零点的个数例1.已知函数f(x)=2exsinx.(e是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间;(2)记g(x)=f(x)-ax,0a6,试讨论g(x)在(0,π)上的零点个数.(参考数据:≈4.8)

(2)由已知g(x)=2exsinx-ax,∴g(x)=2ex(sinx+cosx)-a,令h(x)=g(x),则h(x)=4excosx.

①当2-a≥0,即0a≤2时,g(0)≥0,∴存在x0∈,使得g(x0)=0,∴当x∈(0,x0)时,g(x)0;当x∈(x0,π)时,g(x)0,∴g(x)在(0,x0)上是增加的,(x0,π)上是减少的.∵g(0)=0,∴g(x0)0,又g(π)=-aπ0,∴由零点存在性定理可得,此时g(x)在(0,π)上仅有一个零点.

②当2a6时,g(0)=2-a0,且当x∈(0,x1),x∈(x2,π)时,g(x)0;当x∈(x1,x2)时,g(x)0.∴g(x)在(0,x1)和(x2,π)上是减少的,在(x1,x2)上是增加的.∵g(0)=0,∴g(x1)0,

又g(π)=-aπ0,由零点存在性定理可得,g(x)在(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,即此时g(x)在(0,π)内有两个零点.综上所述,当0a≤2时,g(x)在(0,π)上仅有一个零点;当2a6时,g(x)在(0,π)内有两个零点.

规律方法函数零点个数即对应方程根的个数,也就是函数图像与x轴交点的个数,所以可以借助函数图像的特征求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数,一般可从两个方面讨论:(1)利用导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图像,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数,即“几个交点几个根,正负极值定乾坤”;(2)分离参数,将问题转化为求直线y=a与函数y=f(x)的图像交点个数问题,即“求根问题要通变,分离参数放左边”.

对点训练1已知函数f(x)=lnx-x+sinx+a.(1)求f(x)的导函数f(x)在(0,π)内的零点个数;(2)求证:当a∈[1,3]时,f(x)有且仅有2个不同的零点.

(2)证明:由已知a∈[1,3],f(x)定义域为(0,+∞),①由(1)知,当x∈(0,x0)时,f(x)0,f(x)在(0,x0)上是增加的,当x∈(x0,π)时,f(x)0,f(x)在(x0,π)上是减少的,

所以f(x)=0在[π,6)上有唯一的根,且记为x1∈[π,6),使f(x1)=0.综合①可知f(x)在[x0,x1)上是减少的,在(x1,6)上是增加的,则f(x1)f(6)=ln6-6+sin6+aln6-6+1+3ln6-20.因为f(x0)·f(x1)0,f(x1)·f(6)0,所以f(x)在[x0,6)上恰有1个零点.

③当x∈[6,+∞)时,f(x)≤lnx-x+4,设φ(x)=lnx-x+4,φ(x)=-10,所以φ(x)在[6,+∞)上是减少的,则φ(x)≤φ(6)=ln6-6+4=ln6-20,所以当x∈[6,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(6)0恒成立,所以f(x)在[6,+∞)上没有零点,综上,当a∈[1,3]时,f(x)有且仅有2个不同的零点.

考向2已知函数零点情况求参数的值(或范围)例2(2022全国乙,理21)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

若-1≤a0,则当x∈(0,1]时,g(x)0;当x∈(1,+∞)时,g(x)0,所以当x0时,g(x)0恒成立,即f(x)0恒成立,所以f(x)在区间(0,+∞)是增加的,所以当x0时,f(x)f(0)=0,不符合题意,舍去.若a-1,则g(0)0,又g(-1)=10,g(1)=10,当x1时,g(x)0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x)=0.所以f(x)在区间(-1,x1),(x2,+∞)上是增加的,在区间(x1,x2)上是减少的,所以f(x1)f(0)=0,f(x2)f(0)=0,当x∈(x1,0)时,f(x)0恒成立;当x∈(0,x2)时,f(x)0恒成立.

令h(x)=xe-x,则h(x)=e-x(1-x),所以当x1时,h(x)0,所以h(x)在区间(1,+∞)上是减少的,所以当x1时,0h(x)h(1)=e-11.又a-1,所以当x1时,axe-xa.取x=e-a,因为a-1,0x21,所以e-aex2,所以f(e-a)ln(1+e-a)+alne-a+a=0.又