北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第2章 函数的概念与性质 第4节 幂函数与二次函数.pptVIP

;内容索引;课标解读;强基础?固本增分;1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.?

微点拨幂函数的特点:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为1;③只有一项.;(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较;{x|x≥0};微点拨1.幂函数在(0,+∞)上都有定义;

2.当α0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上是增加的;

3.当α0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上是减少的.

微思考幂函数的图像会不会出现在第一或第四象限?为什么?;2.二次函数的图像和性质

(1)二次函数的定义

形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫作二次函数.

(2)二次函数的图像和性质;微点拨二次函数系数的特征

(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,系数a的正负决定图像的开口方向;

(2)-的值决定图像对称轴的位置;

(3)c的取值决定图像与y轴的交点;

(4)b2-4ac的正负决定图像与x轴的交点个数.;常用结论

1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论:

(1)恒过点(1,1);

(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.;3.二次函数在闭区间上的最值

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),闭区间为[m,n],;研考点?精准突破;;答案:(1)C(2)D(3)A

解析:(1)从图像上看,由于图像不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-30,即-1m3;又从图像看,函数是偶函数,将m=0,1,2分别代入,可知当m=1时,m2-2m-3=-4,满足要求.故选C.

(2)结合幂函数的图像特征,知①②③⑤满足.;规律方法1.幂函数y=xα的图像都过点(1,1),当α0时,第一象限图像是递增的;当α0时,第一象限图像是递减的.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可.

2.比较幂值的大小借助其单调性进行比较.既不同底又不同次数的幂函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.;对点训练1(1)幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示),那么函数y=的图像在第一象限中经过的“卦限”是()

A.Ⅳ,Ⅶ B.Ⅳ,Ⅷ

C.Ⅲ,Ⅷ D.Ⅲ,Ⅶ;答案:(1)B(2)acb;;(方法2利用二次函数的顶点式)

设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).;(方法3利用二次函数的两点式)

由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),

即f(x)=ax2-ax-2a-1.;规律方法确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:;对点训练2已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标是(-2,-1),且图像经过点(1,0),则函数的解析式为f(x)=.?;(方法2)设所求解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).;;答案:B

解析:因为图像与x轴交于两点,

所以b2-4ac0,即b24ac,①正确;

对称轴为直线x=-1,;规律方法1.解决二次函数图像问题的基本方法

(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;

(2)讨论函数图像,依据图像特征,得到参数间的关系.

2.分析二次函数图像问题的要点

一是看二次项系数的符号,它决定二次函数图像的开口方向;二是看对称轴和顶点,它们决定二次函数图像的具体位置;三是看函数图像上的一些特殊点,如函数图像与y轴的交点,与x轴的交点等.

从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图像,反之,也能从图像中得到如上信息.;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是.?;考向2二次函数的单调性与最值

例4(2022北京,14)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为;a的最大值为.?;答案:0(第一空答案不唯一)1

解析:根据题意可以用0,2为a的取值的分界点,研究函数f(x)的性质.当a0时,f(x)=-ax+1,xa,该函数的值域为(-∞,-a2+1),故整个函数没有最小值;当a=0时,f(x)=-ax+1,xa,该函数的值域为{1},而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),即存在最小值为0,故a的一个取值可以为0;当0a≤2时,f(x)=

-ax+1,xa,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a