2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课].docxVIP

§5.4平面对量的综合应用

题型一平面对量在几何中的应用

例1(1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(1,4)，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝eq\f(\r(15),2)，则△ABC的面积的最大值为________．

答案eq\r(15)

解析设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由于BD＝3DC，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，

又AD＝eq\f(\r(15),2)，cos∠BAC＝eq\f(1,4)，

所以eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))))2＝eq\f(1,16)c2＋eq\f(9,16)b2＋eq\f(3,8)bccos∠BAC

＝eq\f(1,16)c2＋eq\f(9,16)b2＋eq\f(3,32)bc，

又eq\f(15,4)＝eq\f(1,16)c2＋eq\f(9,16)b2＋eq\f(3,32)bc＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)c))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b))2＋eq\f(3,32)bc≥2×eq\f(1,4)c×eq\f(3,4)b＋eq\f(3,32)bc＝eq\f(15,32)bc，

当且仅当c＝3b时，等号成立．

所以bc≤8，又sin∠BAC＝eq\f(\r(15),4)，

所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsin∠BAC≤eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(15),4)＝eq\r(15).

(2)(2022·天津)在△ABC中，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中点，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，试用a，b表示eq\o(DE,\s\up6(→))为________，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，则∠ACB的最大值为________．

答案eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aeq\f(π,6)

解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，

eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝b－a，

由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))得(3b－a)·(b－a)＝0，

即3b2＋a2＝4a·b，

所以cos∠ACB＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3b2＋a2,4|a||b|)≥eq\f(2\r(3)|a||b|,4|a||b|)＝eq\f(\r(3),2)，

当且仅当|a|＝eq\r(3)|b|时取等号，而0∠ACBπ，

所以∠ACB∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).

思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题eq\o(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq\o(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq\o(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．

跟踪训练1(1)在△ABC中，已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，则△ABC为()

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．三边均不相等的三角形

答案A

解析eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)分别表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A