北师版高考总复习一轮理科数精品课 第2章 函数的概念与性质 指点迷津(一) 活用函数性质中三类“二级结论”.ppt

指点迷津(一)活用函数性质中三类“二级结论”第二章

数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算能够促进学生数学思维的发展,通过常见的“二级结论”解决数学问题,可优化数学运算的过程,使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.

答案:2∴g(x)为奇函数,由奇函数图像的对称性知g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.

答案:[8,10]

二、抽象函数的周期性1.如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.4.如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

例2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2023)+f(2024)=()A.3 B.2 C.1 D.0答案:C解析:因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-2023)=-f(2023).因为当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x≥0时,自变量的值每增加6,对应函数值重复出现一次.又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=2.f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=3.故f(-2023)+f(2024)=-f(2023)+3=1.

对点训练2(1)(2021江苏南京一中高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+1)=f(-x+1),当0x≤1时,f(x)=x2-2x+3,则f=()A.abc B.acb C.bca D.cba

答案:(1)B(2)D解析:(1)由题意,f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+1)=f(-x+1),得f(x+1)=-f(x-1),所以f(x)是周期为4的周期函数,

三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a对称.(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图像关于点(a,0)对称.

例3.已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上是减少的,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是()A.[-3,1] B.(-∞,-3)∪[1,+∞)C.[-4,2] D.(-∞,-4]∪[2,+∞)

答案:A解析:由于f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1).因此函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称.由f(x)在[1,+∞)上是减少的,知f(x)在(-∞,1]上是增加的.又x∈[-1,0],知x-1∈[-2,-1].①当m+2≤1,即m≤-1时,f(m+2)≥f(x-1)对x∈[-1,0]恒成立,则有m+2≥x-1对x∈[-1,0]恒成立,所以-3≤m≤-1.②当m+21,即m-1时,f(m+2)≥f(x-1)=f(3-x),则有m+2≤3-x对x∈[-1,0]恒成立,则-1m≤1.由以上知,实数m的取值范围是[-3,1].

例4.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2020)+f(2021)+f(2022)的值为.?答案:4解析:因为函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图像关于原点对称,即函数f(x)是R上的奇函数,所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,所以f(2020)+f(2022)=f(2020)+f(2020+2)=f(2020)+f(-2020)=f(2020)-f(2020)=0.所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.

对点训练3(1)(2021贵州