北师版高考总复习一轮理科数精品课 第2章 函数的概念与性质 第9节 函数模型及其应用.ppt

第九节函数模型及其应用第二章

内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破

课标解读衍生考点核心素养1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.用函数图像刻画变化过程2.已知函数模型解决实际问题3.构建函数模型解决实际问题1.数学建模2.数学运算3.直观想象

强基础增分策略

1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(3)反比例函数模型:f(x)=(k为常数,k≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b0,且b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a0,且a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);

2.三种函数模型的性质递增递增y轴x轴

微点拨幂函数模型y=xn(n0)可以描述增长速度不同的变化,当n值较小(n≤1)时,增长较慢;当n值较大(n1)时,增长较快.常用结论“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度随x变大而变慢.

增素能精准突破

考点一用函数图像刻画变化过程典例突破例1.假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是()A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值

答案:C解析:由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A不正确;在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故选项B不正确;捕食者数量最大时是在图像最右端,最小值是在图像最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图像最上端,最小是在图像最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C正确;当捕食者数量最大时在图像最右端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80),由图像可知存在点x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D错误.

突破技巧用函数图像刻画实际问题的解题思路使实际问题中两个变量间变化的规律(增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可.

对点训练1某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图像如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y与x的函数图像.给出下列四种说法:①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图3对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是.(填写所有正确说法的编号)?

答案:②③解析:由图1可设盈利额y与观影人数x的函数为y=kx+b,k0,b0,即k为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本,由图2知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,成本减小.故①错误,②正确;由图3知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,k变大,即提高票价,b不变,则-b不变,成本不变.故③正确,④错误.

考点二已知函数模型解决实际问题典例突破例2.(1)(2021河北沧州三模)生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期,可用对数模型K(n)=λlnn来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=