第10讲 平面向量.docx

第10讲平面向量

考点一平面向量的线性运算

1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．

2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．

【典例】1在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=(

A．34AB-

C．34AB+

【解析】根据向量的运算法则，可得

BE=12

所以EB=3

(2)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

【解析】由A,B,C在圆x2＋y2＝1上,且AB⊥BC,∴AC为圆直径,故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＝(－4，0),设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[-1,1]，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x－2，y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(x-6，y).故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12x＋37)，∴x＝－1时有最大值eq\r(49)＝7，故选B.

(3)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．

【解析】由题意可得，eq\o(OD,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))(0k1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝eq\f(1,k)1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．

易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．

【拓展训练】（1）在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.

【解析】eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，

∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).

(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.

【解析】∵a＝(2,1),b＝(1,-2),∴ma＋nb＝(2m＋n,m－2n)＝(9,-8)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝2－5＝－3.

考点二平面向量的数量积

1．若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).

2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)