平行四边形中的最值问题个解题思路（解析版） 八年级数学下册专题训练.pdfVIP

专题15平行四边形中的最值问题8个解题思路（解析版）

专题解读：平行四边形中的最值问题是八年级下册的压轴题，也是中考最常

考的题型。本专题精心选择了最新最好的最值问题，并为孩子们提供了8个解题

思路，可以有效地突破这个难点，欢迎下载使用。

思路一一个动点，求两条线段的和，作一个对称点

1．（2023春•蔡甸区期中）如图，点E是线段BC上的一个动点，+=22，=4，且∠B＝∠C

＝135°，则AE+DE的最小值是210．

【分析】作点A关于线段BC的对称点F，连接BF，DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作FH∥

BC，交DC的延长线于点H，过点D作DG⊥HF，交FH的延长线于点G，由题意易得∠FBC＝∠DCB

＝135°，则有BF∥CH，然后可得四边形BFHC是平行四边形，进而可得FH＝4，推出=22，勾

股定理求出FD的长即可得解．

【解答】解：作点A关于线段BC的对称点F，连接BF，DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作

FH∥BC，交DC的延长线于点H，过点D作DG⊥HF，交FH的延长线于点G，如图所示：

由轴对称的性质可知：∠ABC＝∠FBC＝135°＝∠DCB，AO＝FO，AB＝BF，

∴BF∥CH，

∵FH∥BC，

∴四边形BFHC是平行四边形，

∴FH＝BC＝4，BF＝CH＝AB，

∵+=22，

∴+==22，

当点E与点O重合时，则AE+DE的最小值即为FD的长，

∵FH∥BC，

∴∠FHC＝∠DCB＝135°，

∴∠DHG＝45°，

∵DG⊥HF，

∴∠DGH＝90°，

∴∠HDG＝45°＝∠DHG，

∴GH＝GD，

22

∴=+=2，

2

∴===2，

2

∴FG＝FH+GH＝6，

22

∴=+=210，

∴即AE+DE的最小值为210；

故答案为：210．

【点评】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，

熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．

2．（2022春•永昌县校级期中）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴

的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是

（）

A．6B．10C．210D．410

【分析】由正方形的性质可得，点A，C关于OB对称，连接CD，交OB于点Q，连接AQ，则当点P

与点Q重合时，PD+PA最小，最小值即为CD的长，再利用勾股定理可得答案．

【解答】解：∵四边形OABC为正方形，

∴点A，C关于OB对称，

连接CD，交OB于点Q，连接AQ，

当点P与点Q重合时，PD+PA最小，

最小值为QD+QA＝QD+QC＝CD，

∵D的坐标为（2，0），

∴OD＝2，

∵正方形OABC的边长为6，

∴OC＝6，

22

∴CD=6+2=210．

故选：C．

【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质、

正方形的性质是解答本题的关键．

3．（2023春•盐都区期中）如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD

内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A．8B．2C．3D．4

【分析】作点E关于AC的对称点E，连接DE，则PD+PE的和最小即为DE的长；证明△ADE是等边

三角形，即可求解；

【解答】解：作点E关于AC的对称点E，连接DE，

则PD+PE的和最小即为DE的长；

由对称性可知：AE＝AE，

∵△ABE是等边三角形，

∴AE＝AD，

∵∠EAB＝60°，∠