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专题27概率统计解答题分类练
一、概率
1．（2024届江苏省连云港市赣榆智贤中学高三上学期9月模拟）某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有9张大小相同的精致卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图案，抽奖规章：参与者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参与者连续重复进行．活动开头后，一位参与者问：“盒中有几张“爱国”卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是“敬业”卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片依据之前的抽奖规章进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
【解析】（1）设“敬业”卡有n张，由已知可得，解得，
故“爱国”卡有5张，抽奖者获奖的概率为.
（2）若抽出的为“敬业”卡，则每个抽奖者获奖的概率为，
若抽出的为“爱国”卡，则每个抽奖者获奖的概率为，
所以，新规章下，每个抽奖者获奖的概率为，
所以，（，1，2，3），
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以.
2．（2024届THUSSAT中同学标准学术力量诊断性测试高三上学期9月测试）某单位组织学问竞赛，有甲、乙两类问题．现有、、三位员工参与竞赛，竞赛规章为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工竞赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工竞赛结束．每人两次回答问题的过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得分，否则得分；乙类问题中每个问题回答正确得分，否则得分．已知员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为．
(1)求人得分之和为分的概率；
(2)设随机变量为人中得分为的人数，求随机变量的数学期望．
【解析】（1）解：设大事为员工答对甲类问题；设大事为员工答对乙类问题；
设大事为员工答对甲类问题；设大事为员工答对乙类问题；
设大事为员工答对甲类问题；设大事为员工答对乙类问题；
三人得分之和为分的状况有：
①员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，
则；
②员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，
；
③员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，
，
所以三人得分之和为分的概率为.
（2）解：由于员工得分的概率为，
B员工得分的概率为，
员工得100分的概率为，
所以，随机变量，所以，.
3．（2023届河南省开封市通许县第一高级中学高三下学期押题）有一种双人玩耍，玩耍规章如下：一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个白色小球，2个红色小球，每次玩耍双方从袋中轮番摸出1个小球，摸后不放回，摸到第2个红球的人获胜，同时结束该次玩耍，并把摸出的球重新放回袋中，预备下一次玩耍，且本次玩耍中输掉的人在下一次玩耍中先摸球．小胡和小张预备玩这种玩耍，商定玩3次，第一次玩耍由小胡先摸球．
(1)在第一次玩耍中，求在小胡第一轮摸到白球的状况下，小胡获胜的概率；
(2)记3次玩耍中小胡获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）记小胡“第一轮摸到白球”为大事A，“小胡获胜”为大事B，
则，，
故；
（2）记一次玩耍中“先摸球者获胜”为大事C，
则，
则X的可能取值为，
则，，
,
，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
故.
4．（重庆市巴蜀中高三上学期月考）2023年7月28日，第三十一届世界高校生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有，，，，共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲挂念训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分状况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分状况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计
??
(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，推断跳水员的优秀状况与训练是否有关？并说明缘由；
(2)从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；
(3)跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.假如跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进
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