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专题21圆中的最值问题
一、单选题
1．（2024届广东省信宜市高三上学期摸底）设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】??
如图所示，当直线与圆相切时，A为切点，此时最大，易得,
由，即，
所以.故选C
2．（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（????）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题可得，圆的半径，圆心到直线的距离为，
直线被圆截得的弦长为，解得或（舍去），
则点的坐标为，该点到圆心的距离为，
所以点到圆上点的距离最大值为，故选A.
3．（2024届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，同理可知：直线过定点，
又由于，可知，所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，由于圆的圆心，半径，
所以的最大值是.故选B.
4．（2024届广东省珠海市其次中学高三上学期10月月考）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
??
由题意圆的标准方程为，，
又由于，所以，
所以，
又圆心到直线的距离为，
所以，所以不妨设，
则，
又由于在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时，有最大值.故选A.
5．（2024届重庆市高三上学期9月月度质量检测）已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（????）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】D
【解析】由题意可知：圆C：的圆心，半径，
则，设P、C到直线AB的距离分别为，
由于，解得，
分别过P、C作，垂足分别为，再过C作，垂足为，
明显当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，
??
则，当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7.故选D.
6．（2023届河南省开封市通许县高三下学期押题）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，即，则，其中为帮助角，，
则，整理得，
故的最大值为，故选A
7．（2023届四川省岳池中学高三上学期10月月考）已知点是圆上任意一点，，则（????）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】B
【解析】圆的方程可化为，设，且，且，
则，当，时，取得最大值，故A错误；，
所以当时，取得最小值，故B正确；
，
所以当时，取得最小值，故C错误；
，
所以当时，取得最大值，故D错误.故选B
8．（2024届THUSSAT中同学标准学术力量诊断性测试高三上学期9月测试）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在中，在中，
故，，由于，故，
又角的平分线交于点，则，故.故.
以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则由于，，
故，，设，则，
即，故，
化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.
??
故选C
9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（????）
A．12 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：
??
取BC，BD中点E，G，可知，且，取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为，故的最大值为12.故选A.
10．（2024届辽宁省朝阳市高三上学期9月联考）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，设，
由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，
如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，
，且，
所以，令，则，
所以，由，
而，
得，取得最小值，则的最小值为．故选B．
11．（2023届福建师范高校附属中学高三上学期12月月考）已知实数满足，，，则的最大值是（????）
A． B．6 C． D．12
【答案】D
【解析】如图：
设，，则原题等价于点，是圆上两点，
并且，所以，
，
所以所求最大值就是两点到直线的距离之和的倍，
设AB的中点为M，由上图可知：，就是M点到直线的距离的倍，
由于是直角三角形，，设的中点为，所以在圆上运动，所以本题等价于求到直线的距离倍的最大
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