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专题17球与几何体的切接
一、单选题
1．（2024届四川省仁寿高三上学期9月月考）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆柱的底面半径为，则，解得或（舍去），
所以圆柱的体积.故选C
2．（2024届广东省四校高三上学期联考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的全部顶点均在球的球面上，则球的表面积为（????）
??
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依据题意可得，且，
所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
如图所示，
??
设长方体的外接球的半径为，可得，所以，
所以外接球的表面积为，故选C
3．（2023届山西省运城市学业水平考试）在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，故三棱锥的体积，
设，则，
由，得，由，得，则在上单调递增，
在上单调递减，从而，
即三棱锥体积的最大值是，此时，即，
由于平面，把三棱锥不成一个长方体，则三棱锥与所补成的长方体有相同的外接球，所以外接球的半径，则三棱锥外接球的体积为．
故选B.
??
4．（2023届江西省九江市高三第一次模拟）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】??
如图，取中点，连接，，则，，
由于平面平面，所以可得平面，平面，
取的外心，的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接，易得，，，
.故选B.
5．（2023届河北省秦皇岛市高三冲刺卷）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（????）
??
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，四边形为该几何体的轴截面，则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为，由，得，则，，
所以.故选D.
??
6．（2023届海南省高三全真模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（????）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意，设球的半径为，则，
由，外接圆半径，
依据线面垂直模型知：.
??
故选A
7．（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月质量检测）直观想象是数学六大核心素养之一，某位老师为了培育同学的直观想象力量，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四周体盒子中，则a的最小值为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】我们先来证明如下引理：如下图所示：
??
设正四周体棱长为，面，，所以，，
明显为面的重心，所以，由勾股定理可得面,
所以正四周体的高等于其棱长的面倍.接下来我们来解决此题：
如下图所示：
??
10个直径为4的小球放进棱长为a的正四周体中，成三棱锥外形，有3层，
则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个，
当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四周体的侧面相切，底层的每个球都与正四周体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的全部上下相邻小球的球心连线为一个正四周体，则该正四周体的棱长为，可求得其高为，
所以正四周体的高为，
进而可求得其棱长a的最小值为．故选B.
8．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知四周体中，，，，直线与所成的角为，且二面角为锐二面角．当四周体的体积最大时，其外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
????
由于，
所以，即，当且仅当时等号成立，此时底面△BCD面积最大，，
将AD沿平移至，则点A与到底面BCD的距离相同，且，
为使四周体ABCD高最大，则直线在底面BCD的射影为直线BC，此时面BCD，设点A在底面BCD的投影为，可知四边形BCDB为菱形，且的外心为，此时满足二面角为锐二面角，故四周体ABCD的外接球的球心在直线上，由于，，，所以在中，，解得，
此时外接球的表面积为，故选B
9．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为，则高为，
所以圆锥的体积为，
令，得，
所以，
则，
所以当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，即时，圆锥的体积最大，
此时圆锥的高为，母线长为，
设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面图如图所示，则
，
由
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