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专题16数列解答题分类练
一、方程思想求数列通项
1.（2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）记等比数列的前项和为，已知，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2.（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求证：；
(3)记其中，求数列的前项和．
二、等差数列与等比数列的证明
3.（2024届贵州省贵阳市高三上学期8月考试）设为数列的前项和．已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
4.（2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考）已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
5.（2023届陕西省西安市大明宫中学高三高考综合测试）已知数列的各项均为正数，且满足．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
三、裂项求和
6.（2024届四川省眉山市东坡区高三上学期开学考）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，，求的值．
7.（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月其次次质量检测）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．
8.（2024届黑龙江省哈尔滨工业高校附属中学校高三上学期9月月考）已知数列，是数列的前项和，满足；数列是正项的等比数列，是数列的前项和，满足，（）.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
9．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）设等差数列前项和，，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证.
四、错位相减法求和
10.（2024届湖南省邵阳市邵东市高三上学期其次次月考）已知数列满足，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
11.（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）已知数列的首项，其前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
12.（2024届山西省晋城市第一中学校高三上学期9月月考）已知数列满足，且有.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
13.（2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期9月大联考）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求证：.
五、数列与不等式
14.（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考）已知正项数列，其前项和满足，
(1)求的通项公式.
(2)证明：.
15.（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知数列，满足，，记为的前n项和.
(1)若为等比数列，其公比，求；
(2)若为等差数列，其公差，证明：.
16.（2023届海南省海口市高三下学期同学学科力量诊断）记为数列的前n项和，已知.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意，总有，求k的最小值.
17.（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）已知正项数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，若恒成立，求实数λ的取值范围．
六、分段数列
18.（2024届天津市第四十七中学高三上学期第一次检测）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项和；
(3)记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．
19.（2023届安徽省合肥市庐阳区合肥市第一中学高三上学期12月月考）已知数列满足，．
(1)求；
(2)设，求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
七、数列开放题
20.（2023届海南省高三全真模拟）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.（20-23届广东省深圳市、珠海市、湛江市高三上学期11月期中联考）在①数列为等比数列，且，；②数列的前n项和，；③数列是首项为1，公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
已知数列各项均为正数，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为非零的等差数列，其前n项和为，，求数列的前n项和.
22.（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）从①，，成等差数列；②，，成等
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