人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题（第2课时）》示范教学课件.pptx

课题学习最短路径问题第2课时人教版八年级数学上册

如图，在直线l上求作一点C，使得CA＋CB最短．AlBABlC点A，B在直线l异侧B′C点A，B在直线l同侧

问题（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？

MNabAB可以把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M．

问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的（MN长度固定）当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．MNabAB

问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？能否通过图形的变化将问题转化为研究过的问题呢？MNabABBAN

将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？MNabABA′则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．

在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．M′N′abABA′NMNM试着说一下作图过程．

M（3）过N作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置．此时从A到B的路径AMNB最短．作法：（1）将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的长度等于桥长；NabABA′你能试着证明一下吗？（2）连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求；

由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．证明：在直线b上任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，MNabAA′BM′N′

M′N′MNabB由两点之间，线段最短可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．AA′

归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．

lBAQP例已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．分析：先在直线l上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形APQB的周长最小．a

QA′作法：（1）将点A沿直线l的方向平移到A′，使得AA′＝a；lBA（2）作A′关于直线l的对称点A′′；（3）连接A′′B，与直线l交于一点Q，Q即为所求点．PA″（4）在点Q左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，AB，所得四边形APQB的周长最小．a

造桥选址问题依据两点之间，线段最短方法利用轴对称、平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题思想化归思想

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