Z7-5方向导数与梯度.ppt

目录上页下页返回结束第七章第5节一、方向导数二、梯度方向导数与梯度一、方向导数定义1若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理则函数在该点沿任一方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故特别:?当l与x轴同向?当l与x轴反向对于三元函数在点处可微分，则例7.5.1求函数在点(2,1)处沿方向的方向导数.解:向量l的方向余弦为故在点(2,1)处，所求方向导数二、梯度定义2设函数z＝f(x，y)在点(x，y)的某邻域内具有一阶连续偏导数称为函数z＝f(x，y)在点(x，y)的梯度，记作gradf(x，y)，即(1)当θ＝0时，达到最大，最大值是即方向l与梯度的方向一致时，方向导数取到最大值．梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)增长最快的方向．(2)当θ＝π时，达到最小，最小值是即负梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)减少最快的方向．梯度的几何意义称为函数f的等值线或等高线.则L*上点P处的法向量为举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点P处的法向量为称为时为零时,等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图例7.5.2求梯度向量解:由于内容小结1.方向导数?三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为?二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度?二元函数在点处的梯度为?三元函数在点处的梯度为P372，4，6，7作业第6节1.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为思考题2.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数3.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性目录上页下页返回结束