D9-7-方向导数与梯度.ppt

目录上页下页返回结束第九章第七节一、方向导数二、梯度三、方向导数和梯度向量的关系方向导数与梯度四、梯度的几何意义实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行．问题的提出一、方向导数定义1若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理1则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故对于二元函数为?,?)的方向导数为特别:?当l与x轴同向?当l与x轴反向向角例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：定义1即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或Nabla算子.(为方向l上的单位向量)梯度的基本运算公式（c为常数，u、v为函数）例4.解:梯度gradf(2?0)．设f(x,y)=xey+cosxy，求f(x,y)在点(2?0)的fx(2?0)=(ey－ysinxy)|(2?0)?1，fy(2?0)=(xey－xsinxy)|(2?0)?2，故f(x,y)在点(2?0)的梯度为gradf(2?0)?(1?2)?例5.证:试证处矢径r的模,三、方向导数和梯度向量的关系函数f(x,y)在点P0(x0?y0)沿方向l的方向导数可以写成(1)当向量el与gradf(x0?y0)的夹角??0，函数的方向导数取得最大值|gradf(x0?y0)|，函数沿此方向增加最快．(2)当向量el与gradf(x0?y0)的夹角??π，函数的方向导数取得最小值-|gradf(x0?y0)|，函数沿此方向减少最快．(3)当向量el与gradf(x0?y0)的夹角??π/2，函数的方向导数=0,即函数的变化率为零．例6.解:处增加最快的方向以及f(x,y)沿这个方向的方向导数;设f(x,y)=x2?y2，P0(1?1)，求(1)f(x,y)在点P0(2)f(x,y)在点P0处减少最快的方向以及f(x,y)沿这个方向的方向导数;(3)f(x,y)在点P0处变化率为零的方向．四、梯度的几何意义称为函数f的等值线或等高线.则L*上点P处的法向量为举例函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线，梯度的模就等于函数沿这个法线方向的方向导数.等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图例7.设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考:f在点P处沿什么方向变化率为0?注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多内容小结1.方向导数?三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为?二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度?三元函数在点处的梯度为