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专题03勾股定理与数学思想及数学方法(解析版)
类型一方程思想
(一)单勾股列方程
技巧1利用等腰三角形转移线段
1.(2023春•荔城区期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,AB的垂直平分线分别交
AB、AC于点D、E.求AE的长.
【思路引领】由勾股定理先求出BC=6,连接BE,根据中垂线的性质设AE=BE=x,知CE=8﹣x,在
222
Rt△BCE中由BC+CE=BE列出关于x的方程,解之可得答案.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,
2222
∴BC=−=10−8=6,
连接BE,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
设AE=BE=x,则CE=8﹣x,
222
在Rt△BCE中,∵BC+CE=BE,
222
∴6+(8﹣x)=x,
25
解得x=,
4
25
∴AE=.
4
【总结提升】本题主要考查勾股定理,解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质.
2.(2022秋•芙蓉区校级月考)如图,将长方形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点C处,BC交AD
于点E.
(1)求证:△BED是等腰三角形;
(2)若AD=8,AB=4,求△BED的面积.
【思路引领】(1)先根据折叠的性质得出∠1=∠2,再由矩形的对边平行,内错角相等,所以∠1=∠3,
然后根据角之间的等量代换可知DE=BE;
222
(2)设DE=x,则AE=8﹣x,BE=x,在△ABE中,运用勾股定理得到BE=AB+AE,列出关于x的
方程,解方程求出x的值,再根据三角形的面积公式,即可求得△BED的面积.
【解答】(1)证明:∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的,
∴∠1=∠2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴BE=DE;
(2)解:设DE=x,则AE=AD﹣DE=8﹣x,
在直角△ABE中,∵∠A=90°,BE=DE=x,
222
∴BE=AB+AE,
222
∴x=4+(8﹣x),
∴x=5,
11
∴△BED的面积=DE×AB=×5×4=10.
22
【总结提升】此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它
属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后对应边、对应角相等.
技巧2利用全等三角形转移线段
3.(2021春•重庆期中)如图,长方形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,
6
延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=4,求FD的长.
【思路引领】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG,然后利用“HL”证明△EDF
和△EGF全等,根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF;设FD=x,表示出FC、BF,然后在Rt△
BCF中,利用勾股定理列式进行计算即可.
【解答】解:在矩形ABCD中,
CD=AB=6,AD=BC=46,
∠A=∠C=∠D=90°,
∵点E是AD的中点,
6
∴AE=DE=2,
由折叠的性质可得,
EG=AE,BG=AB=6,∠ECF=∠A=90°,
∴ED=EG,
在Rt△EGF和Rt△EDF中,
=
,
=
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