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全国高中数学联赛一试范围

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定

的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率

和微积分初步不考。

全国高中数学联赛二试范围

1．平面几何

基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离

的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。

几何不等式。

简单的等周问题。

了解下述定理：

在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法*。

平面凸集、凸包及应用。

2．代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。

一元n次方程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，

欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，孙子定理*，

格点及其质。

3．立体几何

多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4．平面解析几何

直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5．其它

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

集合的划分。

覆盖。

注：全国高中数学联赛的二试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠拢，总的精神是

比高中数学大纲的要求略有提高，在知识方面略有扩展，适当增加一些课堂上没有的内容作

为课外活动或奥校的讲授内容。

对教师和教练员的要求是逐步地掌握以上所列内容，并根据学生的具体情况适当地讲

授。

有*号的内容二试中暂不考，但在冬令营中可能考

高中数学竞赛大纲（修订讨论稿）

中国数学会普及工作委员会制定（2006年8月）

总则

从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以来，在“普及的基础上不

断提高”的方针指导下，全国数学竞赛活动方兴未艾，每年一次的数学竞赛吸引了上百万学

生参加。1985年我国步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学课外教育的国际交流，20年

来我国已跻身于IMO强国之列。数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改

革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年

学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数

学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。

为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，中国数学会普及工作委员会于

1994年制定了《高中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很

好的指导性作用，我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

近年来，新的教学大纲的实施在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要

求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识、思想和方法等方面

也有了一些新的要求，原来的《高中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经

过广泛征求意见和多次讨论,对《高中数学竞赛大纲》进行了修订。

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