高数下12.5函数展开成幂级数.pptVIP

例4解而在上式两端从0到逐项积分,得因为上式右端的幂级数当将函数展成的幂级数.因为上式对也成立.时收敛,在而上式左端的函数处有定义且连续.例5级数.解所以于是的麦克劳林级数为将函数展开成的幂例5解于是的麦克劳林级数为级数.将函数展开成的幂例5解于是的麦克劳林级数为该级数相邻两项的系数之比的绝对值因此,该级数的收敛半径收域区间为级数.将函数展开成的幂例5解级数.将函数展开成的幂则可求得即设级数(1)的和函数为的取值而定.可证明:在区间的端点处,展开式(2)是否成立要看当时,收敛域为当时,收敛域为当时,域为收敛例5解级数.将函数展开成的幂公式(2)称为二项展开式.特别地,它就是初等代数中的当为正整数级数成为的次多项式,时,二项式定理.例如,对应、的二项展开式分别为逐项求导,得利用恒等式由就得到就得到就得到即故有所以因为有常用麦克劳林展开式常用麦克劳林展开式常用麦克劳林展开式函数展开成幂级数间接法一般说来,只有少数简单的函数,其幂级数展开函数是根据唯一性定理,利用已知函数的展开式(尤通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的逆过程.式能利用直接法得到它的麦克劳林展开式.更多的其是上面总结的七个基本函数的麦克劳林展开式),求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式.这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.实函数展开成幂级数间接法质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的逆过程.函数展开成幂级数间接法质上函数的幂级数展开是求幂级数和函数的逆过程.掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后,转化成的表达式,把看成变量要把函数展开成的幂级数时,即得的幂级数.对于较复杂的可作变量替换于是当只需把展开的幂级数,成函数,一、泰勒级数的概念二、函数展开成幂级数的方法三、幂级数的运算第五节函数展开成幂级数引言前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂要确定它能否在或者说,样幂级数,现在我们要考虑相反的问题,即对给定的函数级数在收敛域上的和函数.某一区间上“表示成幂级数”,能否找到这它在某一区间内收敛,且其和恰好等于给定的函数而这个幂级数在该区间内就表达了函数如果能找到这样的幂级数,在该区间内能展开成幂级数,们就称函数我泰勒级数的概念由泰勒公式知,如果函数在点的某邻域内有阶导数,则对于该邻域内的任意一点,有其中介于与之间.定理1设在区间内存在任意阶泰勒级数的概念定理1设在区间内存在任意阶泰勒级数的概念定理1设在区间内存在任意阶的导数,幂级数的收敛区间为则在区间内成立的充分必要条件是:在该区间内证由泰勒公式知泰勒级数的概念泰勒级数的概念令有其中,级数在内收敛,即泰勒级数的概念泰勒级数的概念且当时,故由极限运算法则知反之亦然.式右边的级数称为在点处的泰勒级数.麦克劳林级数时的泰勒级数称为的麦克劳林级数.注:由上节定理可知,如果函数能在某个区间内展开成幂级数,则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数.即没有任意阶导数的函函数的麦克劳林级数数是不可能展开成幂级数的.是的幂级数,可以证明,如果能展开成的麦克劳林级数是的幂级数,可以证明,如果能展开成的麦克劳林级数是的幂级数,可以证明,如果能展开成的幂级数,则这种展开式是唯一的,的麦克劳林级数.它一定等于由函数的展开式的唯一性可知,展开成的幂级数,克劳林级数.但是,反过来如果的麦克劳林级它却不一定收敛于例如,函数数在点的某邻域内收敛,如果能则这个幂级数