2025高考总复习专项复习--圆锥曲线的方程专题五(1).docVIP

人教A版数学--高考解析几何复习专题五

学问点一求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,依据韦达定理求参数

典例1、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．

（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．

随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．

（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．

典例2、已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．

（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．

随堂练习：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左?右焦点分

别为，，且到的一条渐近线的距离为1.

（1）求的标准方程；（2）若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.

典例3、已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．

（1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．

随堂练习：在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，

过焦点垂直于实轴的弦长为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.

学问点二直线与抛物线交点相关问题,依据韦达定理求参数

典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点.

（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值.

随堂练习：已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点．

（1）若直线与抛物线的准线相交于点，且，求直线的方程；

（2）若直线不过原点，且，求的周长．

典例5、已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．

（1）当l的倾斜角为时，若，求；（2）设点，且，求l的方程．

随堂练习：已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，．

（1）求的取值范围；（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围．

典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.

（1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值.

随堂练习：已知抛物线的焦点为．

（1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；

（2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线?、的斜率成等差数列．

人教A版数学--高考解析几何复习专题五答案

典例1、答案：（1）（2）证明见解析

解：（1）不妨设,由于,

从而故由,又由于,所以,

又由于在圆上,所以

所以双曲线的标准方程为：

（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为

由于动直线与双曲线恰有1个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别交于点,

当动直线的斜率不存在时,,，,

当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,

故由

依题意，且,化简得,

故由,同理可求,,

所以又由于原点到直线的距离,

所以,又由所以,

故的面积是为定值,定值为

随堂练习：答案：（1）（2）

解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，

所以焦点到其渐近线的距离为．由于双曲线C的离心率为，

所以，解得，所以双曲线C的标准方程为．

（2）设，，联立，得，，

所以，．

由，解得t＝1（负值舍去），

所以，．直线l：，所以原点O到直线l的距离为，

，所以△OAB的面积为．

典例2、答案：（1）；（2）证明见解析．

解：（1）由题意得，，

解得所以双曲线的方程为：

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，

设，，联立，整理可得

，所以

所以

直线与双曲线右支有两个交点，所以

所以，设，

所以

随堂练习：答案：（1）（2）

解：（1）双曲线的离心率为：故椭圆的离心率为：

双曲线的一条渐近线方程为：

设的坐标为：，则，解得

又，解得，故椭圆的标准方程为：

（2）联立方程组：解得：，即点坐