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人教A版数学--高考解析几何复习专题一
学问点一求椭圆中的最值问题
典例1、如图,椭圆的左、右焦点为,过的直线与椭圆相交于、两点.
(1)若,且求椭圆的离心率.
(2)若,求的最大值和最小值.
随堂练习:已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆E的离心率为,且通径长为1.
(1)求E的方程;(2)直线l与E交于M,N两点(M,N在x轴的同侧),当时,求四边形面积的最大值.
典例2、已知椭圆:与抛物线:有相同的焦点,抛物线的准线交椭圆于,两点,且.
(1)求椭圆与抛物线的方程;
(2)为坐标原点,过焦点的直线交椭圆于,两点,求面积的最大值.
随堂练习:在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,过点,且
是椭圆的内接三角形.
(1)若点为椭圆的上顶点,且原点为的垂心,求线段的长;
(2)若点为椭圆上的一动点,且原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.
典例3、在平面直角坐标系中,已知点,,过点的动直线与过点的动直线的交点为P,,的斜率均存在且乘积为,设动点Р的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;(2)若点M在曲线C上,过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N,点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T,求的最大值.
随堂练习:对于椭圆,有如下性质:若点是椭圆外一点,,是椭圆
的两条切线,则切点A,B所在直线的方程是,可利用此结论解答下列问题.
已知椭圆C:和点,过点P作椭圆C的两条切线,切点是A,B,记点A,B到
直线(O是坐标原点)的距离是,.
(1)当时,求线段的长;(2)求的最大值.
学问点二依据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例4、已知椭圆的长轴长为,且经过点.
(1)求C的方程;(2)过点斜率互为相反数的两条直线,分别交椭圆C于A,B两点(A,B在x轴同一侧).求证:直线过定点,并求定点的坐标.
随堂练习:已知椭圆:过点,过右焦点作轴的垂线交椭圆于,两点,且.
(1)求椭圆的标准方程;(2)点,在椭圆上,且.证明:直线恒过定点.
典例5、已知椭圆经过点,其右顶点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点、在椭圆上,且满足直线与的斜率之积为,证明直线经过定点.
随堂练习:已知F是椭圆的左焦点,焦距为4,且C过点.
(1)求C的方程;
(2)过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,若l1与C交于A,B两点,l2与C交于D,E两点,记AB的中点为M,DE的中点为N,试推断直线MN是否过定点,若过点,恳求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
典例6、已知椭圆T:经过以下四个不同点中的某三个点:,,,.
(1)求椭圆T的方程;
(2)将椭圆T上全部点的纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变,得到椭圆E.已知M,N两点的坐标分别为,,点F是直线上的一个动点,且直线,分别交椭圆E于G,H(G,H分别异于M,N点)两点,试推断直线是否恒过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
随堂练习:已知椭圆:()的左、右顶点分别为,,为坐标原点,直线:与的两个交点和,构成一个面积为的菱形.
(1)求的方程;
(2)圆过,,交于点,,直线,分别交于另一点,.
①求的值;②证明:直线过定点.
人教A版数学--高考解析几何复习专题一答案
典例1、答案:(1);(2)最大值;最小值.
解:(1),由于。所以,所以,
所以
(2)由于,得,则.
①若垂直于轴,则,所以,
所以
②若与轴不垂直,设直线的斜率为,则直线的方程为
由得
,方程有两个不等的实数根.
设,.,
=
,所以当直线垂于轴时,取得最大值
当直线与轴重合时,取得最小值
随堂练习:答案:(1);(2)2.
解:(1)依题意可知,解得故椭圆的方程为.
(2)延长交E于点,由(1)可知,
设,设的方程为,由得,故.
设与的距离为d,则四边形的面积为S,
,
又由于,
当且仅当,即时,等号成立,故四边形面积的最大值为2.
典例2、答案:(1)椭圆的方程为:,抛物线的方程为:;(2)最大值为1.
解:(1)由于,所以不妨设的坐标为,的坐标为,
所以有:,∴,,
∴椭圆的方程为:,抛物线的方程为:;
(2)由(1)可知:的坐标为:,
设直线的方程为:,到的距离为,则,
联立可得:,则,
,
当且仅当时取等号,故面积的最大值为1.
随堂练习:答案:(1);(2).
解:(1)设焦距为,由题意知:,
因此,椭圆的方程为:;
由题意知:,故轴,设,则,,
,解得:或,
,不重合,故,,故;
(2)设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,
当斜率不存在时,点在轴上,所以此时点在长轴的端点处
由,则,则到直线的距离为1;
当斜率存在时,设:,,,
则,所以,
所以,即
也即
,
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