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第九章指点迷津(九)

圆锥曲线的常用二级结论及其应用

一、椭圆与双曲线的“垂径定理”

类比圆的垂径定理,椭圆和双曲线也有类似的结论:

1.椭圆

为定值

2.双曲线

之积为定值a

2=1

+

由点A,B在椭圆上,得两式相减得

整+路=1

同理可证双曲线的结论.

印2+m1Y2=0,所以有kowkw=

y+

A

M

0x

B

推论1:椭圆

线段的斜率之积为定值日

推论2:双曲线

连的两线段的斜率之积为定值心

证明如下:如图,由椭圆的“垂径定理”,得kAmkmg=kamkov=

y*

N

M

OX

B

例1.(1)椭圆

对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为()

A.B.空

c?D

答案A

所以子一专甲学一与所以精圆C的离心率(=√1要一空

故选A.

应用结论如图,设点P关于x轴的对称点为Pj,连接PP,

.故选A.

y*

PQ

O

X

P?

(2)已知直线l与椭圆

答案x+√2y-2√2=0

中点,

y

N

令x=0得y=m,令y=0得

x=,即M(FO),N(O,m),

A

E`B

所以E(2k)2)。0M交

、(Y=kx+m.

消去y得

因为1MNI=2√3,所以IOE|=V3,联。

(+2=1,

(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0,

所以AB中点E的横坐标

Xe

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