打包无穷级数正项.pptx

1positivetermseries正项级数

21.定义正项级数2.收敛的充要条件单调增加这时,只可能有两种情形:正项级数部分和数列

3定理1(有界性准则)注正项级数可以任意加括号,其敛散性不变,对收敛的正项级数,其和也不变.正项级数收敛部分和数列有界.此时,

4例判定的敛散性.解由定理1知,故级数的部分和可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.该正项级数收敛.这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性,由于正项级数收敛部分和所成的数列有界.

53.比较判别法证定理2即部分和数列{sn}有界.则收敛收敛发散发散收敛

6比较审敛法的不便:须有参考级数.发散发散反证法.推论1(发散)收敛收敛(发散).证这是不可能的,因为前面已经证明,此时必有更常见的情形是

7解(1)(2)调和级数发散用比较判别法发散.例讨论的收敛性

8或(2)将p-级数加括号如下:248^^^它的各项均不大于下述正项级数的对应项收敛

9这是收敛的等比级数,故由比较判别法知p1时,p-级数公比收敛.

10(1)几何级数使用正项级数的比较判别法时,常用的比较级数一些级数的敛散性,作为比较的标准.需要知道(2)p-级数(3)调和级数发散

11例讨论下列正项级数的敛散性.解(1)而等比级数收敛.原级数收敛.由比较判别法知,

12解因为而是发散的p-级数.原级数发散.由比较判别法,

13解因为原级数收敛.p-级数,收敛.由比较判别法

144.比较判别法的极限形式定理3两级数同时收敛或发散;

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16证由比较判别法的推论,得证.

17例如收敛.这是因为

18例如发散.因为而发散.

19解所以原级数也收敛.例判定下列级数的敛散性所以原级数也发散.

20练习解而级数收敛故级数收敛.

21解而级数收敛,

22证定理45.比值判别法(达朗贝尔判别法)收敛;发散.方法失效;则(1)(2)(3)

23也收敛.故一般地,

24故级数发散.例如,比值判别法失效.

251.若用比值判别法发现级数发散注则级数的通项un不趋于零.2.条件是充分的,但非必要的,即例如,

26解比值判别法的优点:不必找参考级数.例判定下列级数的敛散性由级数本身就能断定敛散性.

27比值判别法失效,改用比较判别法的极限形式.解

28例讨论级数的敛散性.解当0x1时,当x1时,当x=1时,发散;发散.级数是调和级数,收敛;

29例判定级数的敛散性.解因为而由所以由比较判别法知原级数也收敛.

30例利用级数收敛的必要条件证明证由于由级数收敛的必要条件知,

31例证明级数并估计以级数的部分和sn近似代替和s解以级数的部分和sn近似代替和s是收敛的,所产生的误差.所产生的误差为:

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33练习敛散性.解故当发散.收敛;

34故级数收敛.定理5适用于以n为指数幂的因子6.根值判别法(柯西判别法)收敛;方法失效;则(1)(2)(3)发散.

35注1.根值法条件是充分的,但非必要.2.凡涉及证明的命题一般不可用比值法与根值法而只能用比较法.练习

36例讨论级数的敛散性.解因为故当a0时,级数收敛;当a0时,级数发散;当a=0时,根值法失效,但此时级数为是发散的.

37例证明:级数发散.证因故从而由级数收敛的必要条件知原级数发散.

38这里用比值法判断级数的收敛性时,虽然如此,也还能利用比值,求出比值的极限为1,比值判别法失效.从而得到一般项不收敛于零.因为恒大于1,

39练习判定的敛散性.解根值判别法其中∴级数发散.注

40定理67.积分判别法例如,收敛,

41正项级数审敛法的思维程序四、小结1.2.若比值、根值法;若失效3.比较审敛法的极限形式4.5.充要条件6.按基本性质7.?比较审敛法发散;

42思考题是非题是由比较判别法知收敛.非例如收敛,发散.(1)(2)

43作业习题10-2(247页)(A)1.(1)(2)(3)2.(2)(4)3.(1)(2)(5)4.(1)(3)(5)5.(1)(3)(B)1.(3)(4)4.6.