中南大学2017-2018学年第2学期高等代数(二)期末试卷.docxVIP

中南大学考试试卷(A)

2017-2018学年第二学期时间100分钟

高等代数（二）课程72学时4.5学分考试形式：闭卷

专业年级：2017级总分100分，占总评成绩70%

一、选择题(15分,每小题3分)

1.n阶方阵A具有n个不同特征值是A可对角化的().

A.充要条件

C.必要非充分条件

B.充分非必要条件

D.既非充分也非必要条件

2.下列集合中,不是Rn(n为偶数)的子空间的是(

A.x

B.a

C.x

D.x

3.设A,B为n阶正定矩阵,则(

A.AB,

B.AB是正定矩阵,A+

C.AB不一定是正定矩阵,A+

D.AB,

4.设n阶方阵A的元素全为1,则A的最小多项式().

A.λ

B.λ

C.λ

D.λ

5.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解,

A.r

B.r

C.r

D.r

二、填空题(20分,每小题4分)

1.当k=______时,向量β=1,k,

2.二次型f=x2+4y2+

3.已知3维欧式空间R3的一组基ξ1,ξ2,ξ

4.设A为n阶方阵,满足AAT=E,A

5.设n阶实对称矩阵A的特征值为1,2,?,n,则当___________时

三、计算题

1.(13分)已知二次型f=1

1)求a的值.

2)求正交变换X=QY把f

2.(10分)设R2是R上的2维向量空间,T:

1)求T在基α1=1,

2)设T在R2的某一组基下的矩阵为U=a11a

3.(12分)设α1,α2,α3,α4是线性空间V的一组基,

四、证明题(30分,每题10分)

1.设A∈Rn×n,

1)α,β是Rn上的内积的充要条件是

2)设n=2,A=1112,α

2.设A为3阶方阵,α1,α2为A的分别属于-1,1的特征向量,而α3满足Aα3=α2+

3.设A为n阶实矩阵,A2=A,记NA=

1)Rn

2)NA⊥R

参考答案

一、选择题

1.B.充分性显然,必要性反例:E.

2.A.121,1

3.C.由A,B正定,则任意0≠x∈Fn,xTAx0,xTBx0,故xTA

4.A.易得两个特征值为0和n,计算AA-nE=

5.C.设AX=0的基础解系为α1,?,αs,BX=0的基础解系为β1,?,βt,则α1,?,α

二、填空题

1.-8.由β,α1,α2

2.-2,1.f对应的矩阵为1-t-1-t

3.13.

∥

4.0.由题意,A2=1,又A0,故A=-1.由

5.tn.设J=diag1,2,?,n,由于A为实对称矩阵,则存在正交矩阵U使得UTAU=J.又tE-A为正定矩阵,

三、计算题

1)f的矩阵为A=1-a1+a01

2)代入a=0得A为块对角矩阵.对于对角块1111,有特征值0,2,对应的特征向量为1,-1T,

1)T在标准基e1,e2下的矩阵为A=0-110,且e1,

2)若a12a21=0,则a12=0或a21=0

3.设x∈kerσ,则σx=0,设x在α1,α2,α3,α4下的坐标为x1,x2,x3,x4,则1021

四、证明题

1)(必要性)取β=α,则任意α≠0,αTAα

α

故A=AT,故A为对称矩阵.因此

(充分性)由

α

故对称性成立.任意α≠0,α,α=αT

λ

故双线性成立.

2)易得α,α=1,α,β=1,

2.设k1α1+k2α2+k3α3=0,由Aα1=-α1,Aα2=α2,两边左乘A有-k1

1)任意x∈Rn,x=x-Ax+Ax.其中,Ax-Ax=Ax-A2x=

2)任取x∈NA,Ax=0,故x=x-Ax.又由1)知任意x,x-Ax∈NA,故NA=x