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一)逆矩阵的概念四)方阵可逆的充分必要条件n阶方阵A、B：AB=BA=E.二)逆矩阵的性质若A、B是n阶可逆方阵，则(AB)也可逆,且：(AB)-1=B-1A-1；(AT)-1=(A-1)Tn阶方阵A可逆三)伴随矩阵的性质五)解矩阵方程：AXB=C,方阵A与B可逆,则:X=A-1CB-1;用逆矩阵的方法解方程组:温故而知新六)若方阵A满足:A2+2A-E=O.则A是可逆矩阵,并求A-1.

证明:证明题选讲

证明：设A为n阶可逆方阵，A*为A的伴随矩阵，试证：

一、分块矩阵的概念将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例如矩阵:记为其中：§4分块矩阵及其运算

设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分别分块如下:矩阵A与B的乘积AB:2.分块矩阵的乘法其中对A的列的分法与对B的行的分法完全一致二、分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法:矩阵A与B同型且有相同的分块法.

例1问矩阵B如何分块,才能与A右乘?设矩阵若矩阵A分块为:解:矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可:满足条件的B的分法共有八种.几种分法?

3.分块矩阵的转置设矩阵A分块如下:分块矩阵A的转置:即分块矩阵转置分两次进行:(1)按一般元素矩阵转置;(2)然后每个子块矩阵再转置.

说明1):关于准对角矩阵的结论:称矩阵为准对角矩阵当Ai(i=1,2,…，s）都是方阵时，①②也叫分块对角阵③当A1,A2,…,AS都是方阵,且时,A可逆

设矩阵:分块矩阵的简单应用：说明2):①简化线性方程组的记号方程组：与——线性方程组的一般表示法

与将A按列分块:则方程组可表为：即方程组可表为：——线性方程组的向量表示法——线性方程组的矩阵表示法

例2解

例3A1A2B1B2解

第二章矩阵及其运算习题课

一、内容概要矩阵概念运算分块矩阵逆矩阵矩阵的行列式

1、矩阵的定义特殊矩阵同型矩阵负矩阵行矩阵列矩阵零矩阵分块矩阵返回2、矩阵的运算(1)数乘矩阵：注意与行列式计算的区别。前提条件:左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数(2)矩阵的乘法：(3)矩阵的转置：(AB)T=BTAT3、方阵的行列式设A、B为两个n阶方阵，则1）|AT|=|A|；2）|?A|=?n|A|；4）|A-1|=|A|-1；

矩阵可逆的充要条件：（1）方阵A可逆（3）方阵A可逆A是非奇异矩阵。AX=0只有0解（注:A是方阵）（2）方阵A可逆4、逆矩阵(1)?(AB)也可逆,且(AB)-1=B-1A-1；可逆矩阵的性质:

主要题型矩阵的基本运算;求矩阵的逆运算;矩阵方程求解;分块矩阵的运算及其应用;应用定义.性质.定理证明一些简单结论;

二、例题分析例1解还继续计算A3=？=4E=22E∴A2n=4nE=22nE.A2n-1=…，Ak=…

例2已知矩阵B=(1,2,3)，而A=BTC，求An解:太麻烦!注意:CBT=

例3例4设A为4阶方阵,(可留作习题)且(2E-C-1B)AT=C-1,求A.

解由(2E-C-1B)AT=C-1,C(2E-C-1B)AT=E(2C-B)AT=EAT=(2C-B)-1A=((2C-B)-1)T=((2C-B)T)-1A返回后话:

例5设A3=2E,证明A+2E可逆,并求(A+2E)-1.分析只要求得矩阵B,使得(A+2E)B=E即可.而A3+8E=(A+2E)(A2-2A+4E),再由条件A3=2E即得结论.解(A+2E)-1=(A2-2A+4E)

例6设A为3阶方阵，A＊为其伴随矩阵，返回解：

补充：考研大纲中关于矩阵部分的考试内容:矩阵的概念;矩阵的线性运算;矩阵的乘法;方阵的幂;方阵乘积的行列式;矩阵的转置;逆矩阵的概念和性质;矩阵可逆的充分必要条件;伴随矩阵;矩阵的初等变换;初等矩阵;矩阵的秩;矩阵等价;分块矩阵及其运算.考试要求:1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质．2.?掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质