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(每日一练)通用版初中数学图形的性质几何图形初步知识总结例题

单选题

1、如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

答案：C

解析：

过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得到答案．

解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，

1

则AM＝BM＝AB，

2

在Rt△AOM中，AM＝√2−2＝√42−22＝2√3，

∴AB＝2AM＝4√3，

则4√3≤过点M的所有弦≤8，

1

则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，

故选：C．

小提示：

本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键．

2、点P是⊙内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

答案：B

解析：

根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径

定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．

解：如图所示，CD⊥AB于点P．

根据题意，得

AB=10cm，CD=6cm．

∴OC=5，CP=3

∵CD⊥AB，

1

∴CP=CD=3cm．

2

根据勾股定理，得OP=√2−2=4cm．

故选B．

2

小提示：

此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．

3、已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（）

A．65°B．50°C．45°D．40°

答案：B

解析：

连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．

连接OA，OB，

∵PA、PB切⊙O于点A、B，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，

∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．

故选：B．

小提示：

本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．

解答题

3

4、阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：

阿基米德是古希腊的数学家、物理学家，在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：

命题：设是一个半圆的直径，并且过点的切线与过该半圆上的任意一点的切线交于点，如果作垂直

于点，且与交于点，则=．

证明：如图①，延长与交于点，连结，，

∵，与⊙相切，

∴…，①

∴=．

∵是半⊙的直径，∴∠=90°，②

在△中，=，得到∠=∠，

可得∠=∠，∴==．

又∵//，∴=，=，∴=，

又∵=，∴=．

任务：

4

（1）请将①部分证明补充完整；

（2）证明过程中②的证明依据是______；

（3）如图②，△是等边三角形，是⊙的切线，切点是，在⊙上，⊥，垂足为，连接，

交于点，若⊙的半径为2，求的长．

答案：（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）21．