模型1球—绳模型（解析版）--竖直面内三种圆周运动模型精讲精练.docx

竖直面内三种圆周运动模型精讲精练模型1球—绳模型

【知识点精讲】

球—绳模型

实例

球与绳连接在竖直面内圆周运动

球沿竖直面圆周内轨道运动

图示

最高点无支撑

最高点无支撑

最高点

受力特征

重力、弹力，弹力方向向下或等于零

重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上

受力示意图

力学特征

mg＋FN＝m

临界特征

FN＝0，vmin＝vgr

过最高点条件

v≥\gr

速度和弹力关系讨论分析

①恰好过最高点时，v＝vgr，mg＝m，FN＝0，绳、轨道对球无弹

力

②能过最高点时，v≥vgr，FN＋mg＝m轨道对球产生弹力

FN

③不能过最高点时，vvgr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动

【方法归纳】

(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同.

(2)确定临界点：抓住球—绳模型中球恰好能过最高点时v＝vgR的临界条件.

(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.

(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向.

(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.

【针对性训练】

1.（2018?高考全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相

切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α,sinα=，一质量为m的小球沿水平轨

道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：

（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；

（2）小球到达A点时动量的大小；

（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。

【名师解析】（1）解:设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则

有

①

②

设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得

③

由①②③式和题给数据得

④

⑤

（2）解:设小球到达A点的速度大小为va，作CD上PA，交PA于D点，由几何关系得

D1=RsinQ⑥

CD=R(1+cosa)⑦由动能定理有

⑧

由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为

⑨

（3）解:小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为VL，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有

⑩v=vsina?

由⑤⑦⑩?式和题给数据得

?

【分析】（1）由力的合成法则及在C点由牛顿第二定律可求出水平恒力F0及小球到达C点的速度。

（2）从A到C有动能定理，几何关系和动量的表达式可求出小球到达A点时的动量。

（3）从C落至水平轨道，在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，由运动学公式可得落至水平轨道所用的时间。

2．(12分)（2020新高考冲刺仿真模拟）某兴趣小组设计了一个玩具轨道模型如图甲所示，将一质量为m=0.5kg的玩具小车(可以视为质点)放在P点，用弹簧装置将其从静止弹出(弹性势能完全转化为小车初始动能)，使其沿着半径为r＝1.0m的光滑圆形竖直轨道OAO′运动，玩具小车与水平面PB的阻力为其自身重力的0.5倍(g取10m/s2)，PB＝16.0m，O为PB中点．B点右侧是一个高h＝1.25m，宽L＝2.0m的壕

沟．求：

(1)要使小车恰好能越过圆形轨道的最高点A，小车在O点受到轨道弹力的大小；

(2)要求小车能安全越过A点，并从B点平抛后越过壕沟，则弹簧的弹性势能至少为多少？

(3)若在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能Epm＝40J，以O点为坐标原点，OB为x轴，从O到B方向为正方向，在图乙坐标上画出小车能进入圆形轨道且不脱离轨道情况下，弹簧弹性势能Ep与小车停止位置坐标x关系图.

【名师解析】mg＝m

得vA＝gr＝10m/s

O→A：－mg·2r＝mvA2－mvO2

得vO＝5-2m/s

FNO－mg＝m

得FNO＝6mg＝30N

(2)要求1：越过A点，vO＝5\2m/s

P→O：Ep弹1－kmgxPO＝mvO2－0

得Ep1＝32.5J

要求2：平抛L＝vBt，h