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探析高等代数与解析几何之合并设课

中央广播电视大学本科数学专业开设的课程中，有《高等代

数专题研究》和《几何基础》这两门学科.从内容编排上来看，高

等代数包括代数运算与数学归纳法、多项式理论、线性空间、线

性变换、欧几里得空间、双线性函数和二次型.编者在前言中说：

二次型理论部分，“编写了二次曲线的化简，力求给读者一个清晰

的数学分类的思想及高等代数在几何方面应用的范例.”而《几何

基础》中编排了向量及其运算、向量运算的代数表达形式、射影

几何、二次曲线等.编者说学习本书所需的基础知识是数学分析、“

高等代数，特别是解析几何.”由此看出，这两门课程关系密不可

分，且部分内容重叠.由于现代教育技术的发展影响了人们的观

念，原有教材内容已不能适应现代数学理论的发展，课程和教材

的改革，相应的教学方法和手段也得到不断的认识和改进，因此，

对高等代数与解析几何这两门数学基础课程进行课程内容与体

系的整合已成为可能.随着现代科学技术的迅猛发展，课程改革

作为教育改革的核心环节和教育改革深化的标志，在世界范围内

得到广泛的关注和前所未有的重视.高等代数与解析几何作为传

统三“基”模式下的二门课程，关系非常密切，几何与代数互为问

题、互为方法、互相交融，因而对其进行合理的整合不仅必要而

且切实可行.作者通过探讨高等代数与解析几何合并教学以后教

学内容的相互协调性、教学手段的合理性，从而说明高等代数与

解析几何这两门学科相互融合已成必然.

一、高等代数与解析几何的内容及相互关系

线性代数是高等代数的主要内容，具有深刻的几何背景.而

解析几何则是用代数方法研究空间的几何问题.因此把高等代数

与解析几何合并成一门课具有其内在的合理性.总的来说，解析

几何是以高等代数为主要研究工具的几何学，没有高等代数这个

主要工具，就没有解析几何，而解析几何又反过来为高等代数提

供了几何背景、解释和研究课题，促进代数的发展，因此，把它

们结合起来作为统一的课程是有必要的，也是十分有益的.

从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相

互联系、相互促进的.它们的关系可以归纳为代数为几何提供研“

究方法，几何为代数提供直观背景”.前一句话是明显的事实，代

数的发展确实可以帮助解决许多几何问题，而后一句话更重要，

甚至可以改为代数要在几何中寻找直观“”，以强调几何对代数发

展的促进作用.有很多具体的实例支持这个观点.从内容的联系来

看，两门课之间存在着工具与对象的联系.解析几何中以代数为

工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、

定义来刻画、描述和表达的.例如，解析几何中的向量的共线、共

面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转

化为用行列式工具来表述；又如，解析几何中向量的外积（即向

量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例.高等代数中的

许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义.

例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间

为实例模型.从概念的内涵和外延来看，两门课之间存在着特殊

与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n维空

间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何

空间的推广（抽象）.由此看出两课合并有利于数“”与形“”的结合.

从数学思想方法来看，两门课具有统一性.

二、高等代数与解析几何一体化教学内容的协调

高等代数的教学内容主要有：多项式、行列式、线性方程组、

矩阵、线性空间、线性变换、欧式空间、二次型.解析几何主要研

究二维实空间中的直线与二次曲线、三维实空间中的平面与二次

曲面、空间曲线和空间曲面的位置关系、平移变换和旋转变换.由

此可以看出，两门课程的内容重复之处较多，而这种重复基本上

是一般与特殊的关系.因此从学生的认知角度来看，两门课程合

并能让学生在具体的几何背景下更直观地接受数学思想与方法，

能充分地发挥两门课内容的互补作用，符合数“”与形“”结合的认

知规律，几何学的讨论给代数学提出了相关问题，而代数学研究

的结果又可应用到几何学中去，它们互为问题、互为方法、相互

交融，在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助几

何设计等技术都以几何与线性代数为其理论基础，几何问题的代

数化处理、代数问题的可视化处理，代数与几何更显得相互渗透、

密不可分.根据高等代数与解析几何的密切关系，首先应介绍代

数方法，然后用它去