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DesignandAnalysisofAlgorithms
ShortestPathsII(Ch25)
2DesignandAnalysisofAlgorithmsShortestpathsTopics:All-pairsshortestpathsFloyd-WarshallalgorithmJohnson’salgorithm
3ShortestpathsSingle-sourceshortestpaths--NonnegativeedgeweightsDijkstra’salgorithm:O(E+VlgV)--GeneralBellman-Ford:O(VE)All-pairsshortestpaths--NonnegativeedgeweightsDijkstra’salgorithm|V|times:O(VE+V2lgV)--GeneralThreealgorithmstoday
4All-pairsshortestpathsInput:DigraphG=(V,E),where|V|=n,withedge-weightfunctionw:E?RIDEA#1--RunBellman-Fordonceforeachvertex.--Time=O(V2E)--Densegraph(n2edges)?O(V4)timeintheworstcase.Output:n*nmatrixofshortest-pathlengthsδ(i,j)foralli,j∈V.
5DynamicprogrammingConsiderthen*nadjacencymatrixA=(aij)ofthegraph,anddefined(m)ij=weightofashortestpathfromitojthatusesatmostmedges.Claim:WehaveAndform=1,2,…,n-1:d(m)ij=mink{d(m-1)ik+akj}
6Proofofclaimd(m)ij=mink{d(m-1)ik+akj}Note:Nonegative-weightcyclesimpliesδ(i,j)=d(n-1)ij=d(n)ij=d(n+1)ij=…Relaxation:fork?1tondoifdijdik+akjthendij?dik+akj
7MatrixmultiplicationComputeC=A·B,whereC,A,andBaren*nmatrices:cij=∑k=1..naikbkjTime=Θ(n3)usingthestandardalgorithm.Whatifwemap“+”?“min”and“.”?“+”?cij=mink{aik+bkj}Thus,D(m)=D(m-1)“×”A.Identitymatrix
8Matrixmultiplication(cont.)The(min,+)multiplicationisassociative,andwiththerealnumbers,itformsanalgebraicstructurecalledaclosedsemiring.Consequently,wecancomputeD(1)=D(0)·A=A1D(2)=D(1)·A=A2…D(n-1)=D(n-2)·A=An-1yieldingD(n-1)=(δ(i,j)).Time=Θ(n·n3)=Θ(n4).Nobetterthann×B-F.
9Improvedmatrixmultiplicationalgo.Repeatedsquaring:A2k=Ak*AkComputeNote:An-1=An=An+1=….Time=Θ(n3lgn)Todetectnegative-weightcycles,checkthediagonalforn
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