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离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

1.2映射的有关概念

习题1.2

1.分别计算⎡1.5⎤，⎡-1⎤，⎡-1.5⎤，⎣1.5⎦，⎣-1⎦，⎣-1.5⎦.

解⎡1.5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1.5⎤=-1，⎣1.5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1.5⎦=-2.

2.下列映射中，那些是双射?说明理由.

(1)f:Z→Z,f(x)=3x.

(2)f:Z→N,f(x)=|x|+1.

(3)f:R→R,f(x)=x3+1.

(4)f:N⨯N→N,f(x1,x2)=x1+x2+1.

(5)f:N→N⨯N,f(x)=(x,x+1).

解(1)对于任意对x1,x2∈Z，若f(x1)=f(x2)，则3x1=3x2，于是x1=x

2，所以f是单射.由于对任意x∈Z，f(x)≠2∈Z，因此f不是满射，进而f不

是双射.

(2)由于2,-2∈Z且f(2)=f(-2)=3，因此f不是单射.又由于0∈N，而任意x

∈Z均有f(x)=|x|+1≠0，于是f不是满射.显然，f不是双射.

(3)对于任意对x1,x2∈R，若f(x1)=f(x2)，则x1+1=x2+1，于是x1=x

2，所以f是单射.对于任意y∈R，取x=(y-1)，这时

1⎡⎤3f(x)=x+1=⎢(y-1)3⎥+1=(y-1)+1=y，

⎣⎦33313

所以f是满射.进而f是双射.

(4)由于(1,2),(2,1)∈N⨯N且(1,2)≠(2,1)，而f(1,2)=f(2,1)=4，因此f不

是单射.又由于0∈N，而任意(x1,x2)∈N⨯N均有f(x1,x2)=x1+x

2+1≠0，于是f不是满射.显然，f就不是双射.

(5)由于x1,x2∈N，若f(x1)=f(x2)，则(x1,x1+1)=(x2,x2+1)，于是x

1=x2，因此f是单射.又由于(0,0)∈N⨯N，而任意x∈N均有f(x)=(x,x

+1)≠(0,0)，于是f不是满射.因为f不是满射，所以f不是双射.

3.对于有限集合A和B，假定f:A→B且|A|=|B|，证明:f是单射的充要条件是

f是满射.对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.

证(⇒)因为f是单射，所以|A|=|f(A)|.由于|A|=|B|，所以|f(A)|=|B|.又因为

B有限且f(A)⊆B，故f(A)=B，即f是满射.

(⇐)若f是满射，则f(A)=B.由于|A|=|B|，于是|A|=|f(A)|.又因为A和B是

有限集合，因此f是单射.

对于无限集合，上述结论不成立.例如f:N→N，f(x)=2x，f是单射，但f不是

满射.

4.设f:A→B,试证明:

(1)fIB=f.

(2)IAf=f.

特别地，若f:A→A，则fIA=IAf=f.

证(1)对于任意x∈A，由于f(x)∈B，所以(fIB)(x)=IB(f(x))=f(x)，因

此fIB=f.

(2)对于任意x∈A，由于IA(x)=x，所以(IAf)(x)=f(IA(x))=f(x)，于是

有IAf=f.

由(1)和(2)知，若f:A→A，则fIA=IAf=f.

5.试举出一个例子说明ff=f成立，其中f:A→A且f≠IA.若f的逆映射存在，

满足条件的f还存在吗?

解令A={a,b,c}，f(a)=f(b)=f(c)=a