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2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案

数学（一）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在答题卡制定的位置上.）

（1）函数，在处（）

（A）连续且取得极大值（B）连续且取得极小值

（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为0

【答案】D

【解析】因为，故在处连续；

因为，故正确答案为D.

设函数可微，且，，则（）

（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】①

②

分别将，代入①②式有

，，

联立可得，于是，故正确答案为C.

设函数在处的3次泰勒多项式为，则（）

（B）

（C）（D）

【答案】A

【解析】根据麦克劳林公式有

，

故，故正确答案为A.

（4）设函数在区间上连续，则（）

（A）（B）

（C）（D）

【答案】B

【解析】由定积分的定义知，将分成份，取中间点的函数值，则

，故正确答案为B.

（5）二次型的正惯性指数与负惯性指数依次为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】

所以二次型矩阵，故特征多项式为

，

令上式等于零，故特征值为，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故答案应选B.

（6）已知，，，记，，，若两两正交，则依次为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】利用施密特正交化方法知：

，，

故，，故答案为A.

注：也可以直接用正交的思想求解！

由，

，

，

.

（7）设为阶实矩阵，下列不成立的是（）

（A）（B）

（C）（D）

【答案】C

【解析】（A），故A项正确；

的列向量可以由的列线性表示，故

；

或者

.

的列向量不一定能由的列线性表示.

（D）行向量可以由的列线性表示，

；

或者

，故选项D正确.

（8）设为随机变量，且，下列命题种不成立的是（）

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

【答案】D

【解析】，故选项A正确；

，故选项B正确；

，故选项C正确；

，

，

因为，故有，故正确选项为D.

（9）设，，，为来自总体的简单随机样本，令，，，，则（）

（A）是的无偏估计，

（B）不是的无偏估计，

（C）是的无偏估计，

（D）不是的无偏估计，

【答案】C

【解析】因为是二维正态分布，所以也服从二维正态分布，则服从以为正态分布，即，故是的无偏估计；

，故选项C正确.

（10）设是来自总体的简单随机样本，考虑假设检验问题，，.表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为，其中，则时，该检验犯第二类错误的概率为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】所求概率为，其中，

填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上）

（11）

【答案】

【解析】

（12）设函数由参数方程确定，则

【答案】

【解析】由，得，

将代入得

（13）欧拉方程满足条件，的解为

【答案】

【解析】令，则，，原方程化为，特征方程为，特征根为，，通解为，将初试条件，代入得，故满足初试条件的解为.

（14）设为空间区域表面的外侧，则曲面积分

【答案】

【解析】由高斯公式得，

（15）设为阶矩阵，为代数余子式，若的每行元素之和均为，且，则

【答案】

【解析】由题知，，，，则的特征值为，对应的特征向量为，，而，，即

（16）甲乙两个盒子中各装有个红球和个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则与的相关系数为

【答案】

【解析】，

0

1

0

1

，，

解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.）

（17）（本题满分10分）

求极限.

【答案】

【解析】，

（18）（本题满分12分）

设（），求级数的收敛域及和函数.

【答案】

【解析】，收敛域为，

，.

，

，

所以.

（19）（本题满分12分）

已知曲线，求上的点到坐标面距离的最大值.

【答案】

【解析】设拉格朗日函数，

则，解得驻点为