拔高点突破02 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（十一大题型）（解析版）(1).docxVIP

拔高点突破02柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式

名目TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：柯西不等式之直接套公式型 2

题型二：柯西不等式之根式下有正负型 4

题型三：柯西不等式之高次定求低次型 5

题型四：柯西不等式之低次定求高次型 7

题型五：柯西不等式之整式与分式型 8

题型六：柯西不等式之多变量型 9

题型七：柯西不等式之三角函数型 11

题型八：Aczel不等式 12

题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 13

题型十：权方和不等式之三角函数型 14

题型十一：权方和不等式之杂合型 15

03过关测试 16

1、柯西不等式（Cauchy不等式）

（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．

（2）元柯西不等式：，取等条件：或（）．

2、Aczel不等式（反柯西不等式）

设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等．

3、权方和不等式

（1）二维形式的权方和不等式

对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．

（2）一般形式的权方和不等式

若，，，则，当时等号成立．

题型一：柯西不等式之直接套公式型

【例1】已知且则的最小值是（????）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】由柯西不等式可得：

，

即

所以，

当且仅当即时取等号，

故的最小值为，

故选：B．

【变式1-1】若，则的最小值为（????）

A．25 B．8 C． D．

【答案】C

【解析】由柯西不等式，得，

∴，

∴，

当且时，

即，且与异号时，

，

则的最小值为.

选：C.

【变式1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【解析】设，，，可得，

所以．

由于，

所以，

当且仅当，取得最大值6，

此时，

所以的最大值为．

故选：B.

题型二：柯西不等式之根式下有正负型

【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发觉的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.依据柯西不等式可以得知函数的最大值为（????）

A． B． C．12 D．20

【答案】A

【解析】由，解得，

所以函数的定义域为，

由柯西不等式得，，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值为.

故选：A.

【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在争辩数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于,

令,又,,,

所以,

当且仅当即时等号成立,

即,

故选:D.

【变式2-2】（2024·浙江·模拟猜测）已知，，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得，即.

由可知，所以.

由，可得，

由柯西不等式得

，

所以，当即时，取等号.

所以的最大值为.

故选：C.

题型三：柯西不等式之高次定求低次型

【例3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解法一依据题意，有

，

其中，令，

解得，

于是，

等号当时取得，因此所求最大值为．

解法二令，其中，则

，

等号当时取得，因此所求最大值为．

解法三依据题意，有

，

等号当，且即时取得，

因此所求最大值为．

故选：A.

【变式3-1】（2024·全国·模拟猜测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在争辩数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（????）

A．14 B．12 C．10 D．8

【答案】A

【解析】由题干中柯西不等式可得，

所以的最大值为，当且仅当时取等号.

故选：A

【变式3-2】已知实数满足，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，

则条件为，所以

，

等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为．

故选：D

题型四：柯西不等式之低次定求高次型

【例4】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对

【答案】B

【解析】依据题意，有，

而，当且仅从时等号成立.

同理，当且仅当式等号成