第57讲 仿射变换、非韦达对称和光学性质作业解析版公开课教案教学设计课件资料.docxVIP

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2023新高考数学复习讲义同步作业（重难点突破）

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第57讲仿射变换、非韦达对称和光学性质

1．已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______.记，当面积最大时，______﹐______.Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______.

【答案】????????????4????2????1

【解析】作变换此时椭圆变为圆，方程为，

当时，最大，并且最大为，

此时，.

由于，，

∴，

，

因为，所以

.

故答案为：；；4；2；1.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且，（是非零实数），求______________.

【答案】1

【解析】解法1：可得点，设，则，

由可得，即有，

，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；

故答案为：．

解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，

，

设，则，

，

∴，

，

∴

.

故答案为：．

3．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（????）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】，

直线的斜率为，

由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，

所以所求直线方程为.

故选：A

4．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（????）

A．B． C．D．

【答案】C

【解析】设在第一象限，，

，，

故选：C

5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如下图所示：因为，所以，所以，所以，

又因为，所以，即，

又，所以，所以或，所以，所以，所以，

又因为，，，

所以的周长为：，

故选：B.

6．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（????）

A．B． C．D．

【答案】B

【解析】由题意得：，则，将代入到，，即，故，即，同除以得：，解得：或（舍去）

故选：B

7．（多选题）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（????）

A．B． C．D．

【答案】ACD

【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在轴上，以下分为三种情况：

（1）球从沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，

这时第一次回到路程是；

（2）球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，

这时第一次回到路程是；

（3）球从不沿轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点．

此时小球经过的路程是．

综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程是或或．

故选：ACD.

8．（多选题）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（????）

A．

B．

C．点到轴的距离为

D．的角平分线所在直线的倾斜角为

【答案】AD

【解析】先证明结论双曲线在其上一点的切线的方程为，

由已知，联立可得，即，解得，

所以，双曲线在其上一点的切线的方程为.

本题中，设点，则直线的方程为，

将点代入切线方程可得，所以，即点到轴的距离为，C错；

在双曲线中，，，则，则、