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高级中学名校试卷
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河南省部分重点中学2025届高三上学期开学摸底测试
数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗C
〖解析〗
.
故选:C.
2.若,则()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗依题意,,则,
所以.
故选:D.
3.已知向量.若,则()
A.-1 B.1 C.2 D.0
〖答案〗A
〖解析〗由,则,
因为,所以,即,解得.
故选:A.
4.已知,且,则()
A.0 B.1 C. D.
〖答案〗B
〖解析〗因为,所以,
即,因为,则,所以.
故选:B.
5.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中,且每个盒子最多只能装3个球,则不同的放法有()
A.60种 B.64种 C.78种 D.81种
〖答案〗C
〖解析〗不考虑每个盒子最多只能装3个球,有种放法.
若将4个球放入同一个盒子中,有3种放法.
故不同的放法有种.
故选:C.
6.已知,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗A
〖解析〗因为,所以,
,故
故选:A.
7.已知函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若,则()
A.1 B.2 C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由图可知,则,解得.
因为,所以.
因为的图象经过点,所以,
所以,解得
因为,所以.
因为的图象经过点,所以,解得.
故.
因为,所以.
.
故选:D.
8.已知是双曲线的左焦点,过点的直线与交于两点(点在的同一支上),且,则()
A.6 B.8 C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由可得.
根据对称性,不妨设过点的直线为,
联立可得.
设,则.①
由,则,
又所以.②
由①②可得,所以,
解得或(舍),,
所以.
故选:D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.为了解某新品种玉米的亩产量(单位:千克)情况,从种植区抽取样本,得到该新品种玉米的亩产量的样本均值,样本方差.已知原品种玉米的亩产量服从正态分布,假设新品种玉米的亩产量服从正态分布,则()(若随机变量服从正态分布,则)
A. B.
C. D.
〖答案〗ABC
〖解析〗依题可知,
,故C正确,D错误.
因为,
所以,
A正确.
因为,
所以0.8,B正确.
故选:ABC.
10.已知函数的定义域为,则()
A. B.
C.是偶函数 D.
〖答案〗ABD
〖解析〗令,得,A正确.
令,得,所以.
令,得,所以,B正确.
令,得,所以是奇函数,C错误.
令,得,
所以D正确.
故选:ABD.
11.如图,球被一个距离球心的平面截成了两个部分,这两个部分都叫作球缺,截面叫作球缺的底面,球缺的曲面部分叫作球冠,垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为,球缺的体积公式为,其中为球的半径,为球缺的高,记两个球缺的球冠面积分别为,两个球缺的体积分别为,则下列结论正确的是()
A.若,则两个球缺的底面面积均为
B.若,则
C.若,则
D.若,则
〖答案〗BCD
〖解析〗对于A,设这两个球缺的底面圆半径为,则,
因为,,解得,该圆的面积为A错误.
对于B,设两个球缺的高分别为,则.
由,得,则,所以,解得.
,同理得,所以B正确.
对于C,.设,由,得,则,C正确.
对于D,.
由,得.设函数,则
在上恒成立,即在上单调递增,
所以,即D正确.
故选:BCD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.
12.已知等比数列的前项乘积为,若,则__________.
〖答案〗1
〖解析〗因为,即,显然,所以,
则,故.
13.已知为椭圆的右焦点,为坐标原点,为上一点,若为等边三角形,则的离心率为__________.
〖答案〗
〖解析〗取椭圆的左焦点,连结,
由为等边三角形,则,
可知为直角三角形,且,
设,则,,
可得,则,
所以椭圆的离心率是.
14.已知函数有4个不同的零点,则的取值范围为__________.
〖答案〗
〖解析〗由题意可得方程有4个不同的根,
方程的2个根为,
则方程有2个不同的根,且,
即函数与函数的图象有两个交点.
当直线与函数的图象相切时,
设切点为,因为,所以
解得.
要使函数与函数的图象有两个交点
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