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第6章投影变换
6.1投影变换概述
6.2换面法
6.3旋转法
▲一般理解：
1、投影变换概念；用换面法解决的基本问题及其应用（如求实形）。
2、用旋转法（饶垂直轴旋转）求一般线的实长、倾角及垂直面的实形。
实形
实长
实长
实角
当直线或平面相对于投影面平行或垂直时，其投影具有度量性，易求解空间点线面的定位问题（交点和交线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
6.1投影变换概述
一、投影变换:
改变空间几何元素与投影面的相对位置，把一般位置的问题转化为特殊位置的问题来解决。
二、投影变换的方法
换面法：空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
旋转法：投影面不动，通过旋转使几何元素处于有利于解题的特殊位置。本节只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。
X1
V/H体系变为V1/H体系
一、新投影体系的建立
V1/H体系称为新投影体系；V/H体系为原投影体系。
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的投影面。
X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
V
b
c
H
a
b(c)
B
A
C
X
H
a
5.2换面法
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直)
(2)新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。
二、新投影面的选择原则
V1∥ABC
V1┴H
X1
V
b
a
H
a
b(c)
B
A
C
c
ax
（1）以点的一次变换为例-替换V面
A
H
a
V
X
a
a1
X1
ax1
ax
H
a
V
X
a
a1
X1
ax1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a⊥X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离:a1ax1=aax
替换投影面
新投影面
保留投影面
三、换面法的投影规律
1.换面法的投影规律
替换投影
新投影
旧轴
保留投影
新投影
新轴
a
a
a1
ax1
a1
a
X1
X
V
H
V
H1
V
H
A
a
ax
X1
X
a1a⊥X1
a1ax1=aax
新
替换投影面
新投影面
保留投影面
（2）以点的一次变换为例-替换H面
X
V
H
a
ax
a
a1
ax1
H
V1
X1
2、基本作法
A
H
a
V
X
a
a1
X1
ax1
ax
四、六个基本问题
1、一般位置线变换为投影面平行线
2、投影面平行线变换为投影面垂直线
4、投影面垂直面变换为投影面平行面
6、一般位置面变换为投影面平行面
3、一般位置面变换为投影面垂直面
5、一般位置线变换为投影面垂直线
一次换面
二次换面
b1
a1
1、一般位置线变换为投影面平行线
√
√
a
b
a
b
X
X
V
X1
a
a
H
b
b
A
B
V1
a1
b1
V
H
X
a
a
H
b
b
A
B
a1(b1)
a
b
a
b
a1(b1)
2、投影面平行线变换为投影面垂直线
H1
V
X
V
H
X1
a
a
b
d
b
d
c
c
a1(d1)
b1
c1
3、一般位置面变换为投影面垂直面
X
X1
a
a
H
b
b
A
B
C
c
c
a1
b1
c1
α
V1
V
X
V
H
c1
a1
a
a
b
b(c)
c
b1
实形
4、投影面垂直面变换为投影面平行面
X
V
H
X1
V
b
H
a
b(c)
B
A
C
X
a
c
a
b
a
b
X
V
H
5、一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
a
b
a
b
V
H
X
H2
a2(b2)
A
B
√
√
实形
a
b
c
a
c
b
6、一般位置面变换为投影面平行面:二次换面
a
b
b
k
b1
c1
a1
k
c
k1
例1过点K作直线与直线AB垂直相交。
a
c
√
√
五、应用举例
X
V
H
m
m
例2求直线AB和平面EFD的交点。
a
a
b
b
d
d
e
f
e
f
f1
d1
m1
e1
b1
a1
X
V
H
n1
h
例3求点K到平面EFD的距离。
k
n
n
h
d
d
e
e
f
f
k
d1(h1)
e1
f1
k1
L
X
V
H
旋转法:投影面不动，通过旋转使几何元素处于有利于解题的特殊位置。本节只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。
6.3旋转法
H
一、点的旋转规律
O
O
P
o
o
o
o
o
o
X
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