概率论 第十三周.pptVIP

数学期望、方差、矩统称为随机变量的数字特征。**常见随机变量的方差(教材P123)分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)π(?)?**分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E(?)N(?,?2)**常见随机变量的数学期望(教材P123)分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP(?)?**分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E(?)N(?,?2)***在一定程度上反映了随机变量与之间的关系。在证明方差的性质时，已经知道，当与相互独立时，有反之则说明，当时，与一定不相互独立。这说明量§4.3随机向量的数字特征(P124)*称为X,Y的协方差。记为:一协方差的定义(P125)定义**用定义计算协方差若(X,Y)为离散型随机向量，则：若(X,Y)为连续型随机向量，则：二协方差的计算公式(P125)**推论(P125)例1(X,Y)的联合分布律为:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求X与Y的协方差,并判断X,Y是否独立。解=0由对称性得:EY=0=0cov(X,Y)=EXY﹣EXEY=0另一方面P(X=﹣1,Y=﹣1)=1/8所以,X与Y不独立。**≠=P(X=﹣1)P(Y=﹣1)(3/8)×(3/8)例2设随机变量X和Y的联合密度函数为求：解:***例3设连续型随机向量的联合密度函数为求：解：由的联合密度函数可求得其边缘密度函数：***三协方差的性质（P125）性质1性质2性质3推论：性质4Cauchy-Schwarz不等式*推论设k0是正整数，如果EXk存在，则E(X+C)k也存在。特别地，当C=?EX时，有随机变量X的k阶中心矩E(X?EX)k也存在。由Cauchy-Schwarz不等式定理如果随机变量X的t阶矩存在，则其s(0st)阶矩也存在。[高阶矩存在?低阶矩也存在]注：根据定理及其推论，有结论：如果随机变量X的2阶原点矩EX2存在，则其数学期望EX和方差DX=E(X?EX)2都存在。*例4已知求：解:***例5将编号分别为1至n的n个球随机地放入编号分别为1至n的n只盒子中，每盒一个球。若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对,求配对个数X的期望与方差。解：P01*P01*四相关系数的定义(P125)由协方差的性质知，当随机变量X与Y相互独立时，协方差cov(X,Y)=0。因此，用协方差来度量随机变量X与Y之间的相互关系有一定的局限性。*因而，用协方差这一数字特征，可以从某一角度刻画随机变量X与Y之间的相互关系。但是，如果随机变量X和Y都同时扩大k倍，即X1=kX，Y1=kY时，此时cov(X1,Y1)=cov(kX,kY)=k2cov(X,Y)，*为避免随机变量因单位不同而影响它们相互关系的度量，可将每个随机变量标准化，即取并将作为与之间相互关系的一种度量**定义设为二维随机向量，称为随机变量和的相关系数，有时也记为特别地，当时，称与不相关。(P125)***定理：若随机变量X与Y的方差都存在，且均不为零，则下列四个命题等价：（1）?X,Y=0；（2）cov(X,Y)=0（3）EXY=EXEY；（4）D(X±Y)=DX+DY例1**反之，再举一例。设X~N(0,1)，Y=X2。此时，但Y=X2，X与Y之间有函数关系，X与Y不独立。五相关系数的性质（P126）证明：由Cauchy-Schwarz不等式性质2存在常数a,b(b≠0),使P{Y=a+bX}=1****第四章