多元复合函数求导法则.pptx

1/26一、复合函数求导的链式法则三、一阶全微分形式的不变性第四节多元复合函数的

求导法则二、复合函数的高阶偏导数四、小结

2/26复合函数为两个中间变量两个自变量的情形.一、复合函数求导的链式法则

3/26则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算具有连续偏导数,1、定理

4/26证.可微由于函数有连续偏导数

5/26同理可证另一个公式。

6/26变量树图uv

7/262、项数3、每一项中间变量函数对中间变量的偏导数，乘以中间变量对其指定自变量的偏导数.的个数.公式特征：1、偏导数公式个数＝自变量个数

8/26中间变量多于两个的情形类似地推广,复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:

9/26解.例1.

10/26例2.设解.求.

11/26二、复合函数的高阶偏导数对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.例3.设f具有二阶连续偏导数,解.

12/26ursxtf具有二阶连续偏导数,

13/26u对中间变量r,s的偏导数从而也是自变量x,t的复合函数.都是x,t的函数,注2注1为了书写简便,常引进记号:表示对第一个中间变量求偏导,表示对第二个中间变量求偏导,表示先对第一个中间变量求偏导,再对第二个中间变量求偏导.

14/26解.

15/262、中间变量为一元函数的情形.定理且其导数可用下列公式计算:具有连续偏导数,导数称为全导数。

16/26复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广变量树图

17/26例5.设求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二yuvx解.法一可用取对数求导法计算.

18/26即两者的区别3.的情形.把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数

19/26例6.设求解.

20/26已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y为中间变量,x,y为自变量.引入中间变量,则练习

21/26具有连续偏导数,则有全微分则有全微分全微分形式不变性的实质三、一阶全微分形式的不变性

22/26解.例7.注：通过全微分求所有一阶偏导数,比链式法则求偏导数有时会显得灵活方便.

23/26思考题正确的是().

24/26思考题解答令则两边对t求导,得

25/26多元复合函数求导法则(链式法则)全微分形式不变性(理解其实质)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导四、小结