第2讲 中心对称、轴对称和周期性(解析版).docx

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第2讲中心对称、轴对称与周期性7类

【题型一】中心对称性质1:几个复杂的奇函数

【典例分析】

已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】

构造函数,判断函数的奇偶性与单调性,将所求不等式转化为,即,再利用函数单调性解不等式即可.

【详解】

令,则,可得是奇函数,

又,

又利用基本不等式知当且仅当,即时等号成立;

当且仅当,即时等号成立;

故,可得是单调增函数,

由得,

即,即对恒成立.

当时显然成立;当时,需,得,

综上可得,故选:D.

【变式演练】

1.对于定义在上的函数,点是图像的一个对称中心的充要条件是:对任意都有,判断函数的对称中心______.

【答案】

【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件,列出式子,即可得出结果.

解:因为,由于

.即,.所以是的一个对称中心.

故答案为:.

2.设函数,若,满足不等式,则当时,

的最大值为

A. B. C. D.

【答案】B

【详解】

因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此

,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.

3..已知函数,若,其中,则的最小值为

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】

通过函数解析式可推得,再利用倒序相加法求得

,得到的值,然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.

【详解】

解:因为,

所以

则所以

所以,所以,其中,则.

当时

当且仅当即时等号成立;当时

当且仅当即时等号成立;因为,所以的最小值为.故选:A.

【题型二】中心对称性质2:与三角函数结合的中心对称

【典例分析】

已知函数与在(,且)上有个交点,,……,,则

A. B. C. D.

【答案】B

【详解】

由图可知交点成对出现,每对交点关于点(0,1)对称,横坐标和为0,纵坐标和为2,所以,选B.

【变式演练】

1.函数在上的所有零点之和等于______.

【答案】8

【详解】

分析:通过化简函数表达式,画出函数图像,分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和.

详解:零点即,所以

即,画出函数图像如图所示

函数零点即为函数图像的交点,由图可知共有8个交点

图像关于对称,所以各个交点的横坐标的和为8

点睛:本题考查了函数的综合应用,根据解析式画出函数图像,属于难题.

2.若关于的函数的最大值为,最小值为,且,则实数的值为___________.

【答案】

【解析】

试题分析:由已知,而函数为奇函数

又函数最大值为,最小值为,且,

考点:函数的奇偶性和最值

【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值,考查函数是奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.解释要充分利用已知条件将函数变形为,则函数为奇函数,而奇函数的最值互为相反数,可得,则问题得解.

3.已知函数,若不等式对任意均成立,则的取值范围为()

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】

由题设,构造,易证为奇函数,利用导数可证为增函数,结合题设不等式可得,即对任意均成立,即可求的范围.

【详解】

由题设,令,

∴,

∴为奇函数,又,即为增函数,

∵,即,

∴,则,

∴对任意均成立,又,当且仅当时等号成立,

∴,即.故选:A

【题型三】轴对称

【典例分析】

已知函数有唯一零点,则负实数()

A.B.C.D.或

【答案】A【解析】函数有有唯一零点,设

则函数有唯一零点,则3e|t|-a(2t+2-t)=a2,

设∴为偶函数,

∵函数有唯一零点,∴与有唯一的交点,

∴此交点的横坐标为0,解得或(舍去),故选A.

【变式演练】

1.已知函数在区间的值域为,则()

A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】C

【详解】解:在上为奇函数,图象关于原点对称,是将上述函数图象向右平移2个单位,并向上平移3个单位得到,所以图象关于对称,则,故选.

2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(a-x),若函数y=|x2-ax-5|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),且=2m,则a=()

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】D

【详解】∵f(x)=f(a-x),∴f(x)的图象关于直线x=对称,又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称,

当m为偶数时,两图象的交点两两关于直线x=对称,∴x1+x2+x3+…+xm=?a=2m,解得a=4.

当m奇数时,两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称,另一个交点在对称轴x=上,

∴x1+x2+x3+…+xm=a?+=2m.解得a=4.故选:D.

3.已知函数,下面是关于此函数的有关命题,其中正确的有

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