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整式的乘法(第3课时)
教学目标
1.经历积的乘方的运算法则的获得过程,理解积的乘方的运算法则.
2.掌握积的乘方的运算法则,能进行积的乘方的有关计算,会逆用积的乘方的运算法则进行相关的化简与运算.
教学重点
积的乘方的运算法则.
教学难点
积的乘方的运算法则的探究和应用.
教学过程
知识回顾
1.(am)n=amn(m,n都是正整数).
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
2.幂的多重乘方:
[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数).
3.幂的乘方的逆运算:
amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数).
4.幂的运算——定符号,用法则
当运用幂的有关运算法则计算时,要注意区别幂的乘方和同底数幂的乘法法则的应用.若幂中含有负号,先确定符号,再利用法则进行计算;若式子中同时含有乘方与乘法运算,先算乘方,再算乘法.
5.整体代入法
当已知中的字母不能求出时,把待求的代数式用已知的代数式表示出来,然后用整体代入的方法进行求解.
6.逆用幂的运算法则
(1)作用:逆用幂的运算法则,常能化繁为简,化难为易,有事半功倍的效果.
(2)变化规律:
①指数为和的形式,转化为同底数幂的乘法;
②指数为积的形式,转化为幂的乘方.
新知探究
一、探究学习
【问题】如图,时代中学准备将边长为am的正方形花坛,扩大成边长为2am的正方形花坛.扩大后新花坛的面积是多少平方米?
【师生活动】学生作答,教师补充并给出正确答案.
【答案】新花坛的边长为2am,所以新花坛的面积是(2a)2m2.
【设计意图】通过生活中的实际举例引入积的乘方的运算问题,为下文做铺垫.
【问题】怎么计算(2a)2?
【师生活动】学生作答,教师补充并给出正确答案.
【答案】根据乘方的意义,
(2a)2=2a·2a
=(2×2)·(a·a)
=4a2(m2).
所以,扩大后新花坛的面积是4a2m2.
【设计意图】运用乘方的意义解决计算问题,为下文进一步提出的问题指明方向.
【问题】用同样的方法,你会计算(ab)2和(ab)3吗?
【师生活动】学生作答,教师补充并给出正确答案.
【答案】(ab)2=(ab)(ab)
=(a·a)·(b·b)
=a2b2.
(ab)3=(ab)(ab)(ab)
=(a·a·a)·(b·b·b)
=a3b3.
【问题】你发现了什么规律?你能说明这个猜想是正确的吗?
【师生活动】学生作答,教师补充并给出正确答案.
【答案】猜想:积的乘方等于各因数乘方的积.
一般地,设n是正整数,a,b是任意底数,
(ab)n=……乘方的意义
=……乘法运算律
=anbn.……乘方的意义
【新知】于是,我们就得到积的乘方的运算法则:
(ab)n=anbn(n为正整数).
即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
【设计意图】通过一步步的设问、解答,让学生逐步了解并掌握积的乘方的运算法则.
【问题】当因数的个数大于等于3时,这个运算法则还成立吗?
【师生活动】小组讨论并由学生代表作答,教师补充并给出正确答案.
【答案】当n是正整数,a,b,c是任意底数时,
(abc)n=
=
=anbncn.
【新知】(abc)n=anbncn(n为正整数).
【设计意图】通过进一步追问,让学生明白积的乘方的运算法则对于多因数的情形同样成立.
【思考】如何简便计算82×(0.125)2?
【师生活动】学生作答,教师补充并给出正确答案.
【答案】用积的乘方的逆运算:
82×(0.125)2=(8×0.125)2=12=1.
【新知】有时为了简便运算,需要用到积的乘方的逆运算:
anbn=(ab)n(n为正整数).
【设计意图】通过举例,让学生意识到掌握和活用积的乘方的逆运算的重要性.
二、典例精讲
【例1】计算:
(1)(2a)3; (2)(-5b)3;
(3)(xy2)2; (4)(-2x3)4.
【答案】解:(1)(2a)3=23·a3=8a3;
(2)(-5b)3=(-5)3·b3=-125b3;
(3)(xy2
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