第三章-矩阵的秩与线性方程组.ppt

方程组变成方程组有无穷多解。令，所以原方程组的通解为此时有同解方程组解法二的优点是增广矩阵不含字母，进行行初等变换比解法一方便，但先需计算含字母参数的行列式，同时只能针对方程组，另外可能需要根据字母参数的不同取值，多次变换类似的增广矩阵。解法一则逻辑性较强。两法使用时需酌情选择。对于含有字母参数的线性方程组，一般方法仍然是将增广矩阵化成行最简矩阵，但在作行初等变换时，要尽量避免参数出现在分母上。（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并求出唯一解及通解。例6*为何值时，非齐次方程组方程组有唯一解。与原方程组同解的方程组为：方程组无解。方程组有无穷组解。此时即令，所以原方程组的通解为例7下列命题中正确的是_______。例8*证明：线性方程组有解的充要条件是线性方程组无解。证明：由于因此从而有解无解证明：例9已知阶矩阵为幂等矩阵，即满足证明:一方面，即证另一方面，所以，从而原命题得证。因为，所以矩阵可逆的等价命题（IV）设是方阵，则下列命题等价。（a）是可逆矩阵。（j）方程组只有零解。（h）有个主元位置。（k）方程组有唯一解，这里（i）对线性方程组，早期采用的分类是(例如戈丁《数学概观》)：补充：关于线性方程组的分类之一（1）超定方程（over-determined）方程:（2）正方方程（well-determined）方程:（3）欠定方程（under-determined）方程:无解或无数个解无解、唯一解或无数个解无解、唯一解或无数个解对线性方程组，工程中经常采用的分类是(例如张贤达《矩阵分析与应用》)：补充：关于线性方程组的分类之二（1）超定方程（over-determined）方程:（2）适定方程（well-determined）方程:（3）欠定方程（under-determined）方程:无数个解无解唯一解这里是的某个排列因而有如下结论：定理1（非齐次线性方程组解的判定定理）元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即既然是系数矩阵的秩，所以我们有这个定理的部分结果是由道吉森在1867年给出的。*证明:必要性。当非齐次线性方程组有解时，如果，那么在中应有一个矛盾方程，方程组无解，显然这与原方程组有解相矛盾。所以只能有*证明:充分性。设，则的行阶梯形矩阵中只有个非零行，从而知其含有个自由未知量。所以由方程组，得令，利用回代，显然可以得到含有这个自由未知量的解，也就是非齐次方程组的通解式。证毕。根据此定理，求解非齐次线性方程组时，也只需先把它的增广矩阵化成行阶梯矩阵或行最简矩阵，就可以判断方程组解的状态，并在有解时求出它的解了。实际求解非齐次线性方程组时，我们使用下面的定理来具体讨论解的各种状态。定理2（非齐次线性方程组解的判定定理）对元非齐次线性方程组，有：（1）时方程组无解；（2）时方程组有解。并且?时方程组有唯一解；