人教版八年级数学上册《角的平分线的性质（第1课时）》示范教学设计.docx

角的平分线的性质（第1课时）

教学目标

1．会用直尺和圆规作一个角的平分线，知道作法的合理性．

2．探索并证明角的平分线的性质．

3．能用角的平分线的性质解决简单问题．

教学重点

探索并证明角的平分线的性质．

教学难点

证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质．

教学过程

新课导入

【问题】下图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？

【师生活动】教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．

【答案】证明：在△ACD和△ACB中，

∴△ACD≌△ACB（SSS）．

∴∠CAD＝∠CAB．

∴AC平分∠DAB．

【动图】仔细观察下面的动图，感受用仪器平分角的过程．

【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值．

新知探究

一、探究学习

【问题】从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？

【师生活动】师生分别在黑板和练习本上画出∠AOB，学生尝试利用直尺和圆规作∠AOB的平分线，教师与学生共同归纳，得出利用直尺和圆规作角的平分线的具体方法．

如果学生没有思路，教师可作如下提示：

在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢？

【问题】已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．

【操作】（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC．射线OC即为所求．

【问题】第2步中，为什么要以大于MN的长为半径画弧？

【师生活动】教师引导学生结合作图过程，进行回答．

【答案】若以小于或等于MN的长作为半径画弧，则两弧没有交点，不存在点C，无法作出角的平分线．

【问题】第3步中，可以说成是连接OC吗？

【师生活动】引导学生复习角的平分线的定义，从而得出答案．

【答案】不可以．因为角平分线OC是射线，而不是线段．

【问题】如何证明OC是∠AOB的平分线？

【师生活动】学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．

【答案】证明：连接CM，CN，可得OM＝ON，MC＝NC．

则在△OCM和△OCN中，∴△OCM≌△OCN（SSS）．

∴∠MOC＝∠NOC．即射线OC平分∠AOB．

【设计意图】让学生通过解释平分角的仪器的工作原理，获得启发，能够用直尺和圆规作角的平分线，增强作图技能，最后让学生在简单推理的过程中，体会作法的合理性．

【动图】仔细观察下面的动图，感受用直尺和圆规作角的平分线的过程．

【思考】利用直尺和圆规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？

【操作】如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试．通过以上测量，你能发现角平分线的什么性质？

【师生活动】学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生之间互相补充，教师指导，一起概括出角的平分线的性质．

【问题】通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？

【师生活动】教师首先引导学生分析命题的条件和结论，发现并找出隐含条件，再让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，最后独立完成证明过程．

【答案】已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证PD＝PE．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°．

在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO（AAS）．

∴PD＝PE．

【问题】由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

【师生活动】师生共同概括证明几个命题的一般步骤．

【答案】（1）明确命题中的已知和求证；

（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；

（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．

【动图】仔细观察下面的动图，感受角的平分线的性质．

【设计意图】让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力．

二、典例精讲

【例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝