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考研数学一-线性代数特征值与特征向量、二次型
(总分：138.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：7，分数：4.00)
1.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是
-1n
A.λ|A|．
-1
B.λ|A|．
C.λ|A|．
D.λ|A|n．
（分数：0.50）
A.
B.√
C.
D.
解析：
2.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于
A．．
B．．
C．．
D．．
（分数：0.50）
A.
B.√
C.
D.
解析：
3.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则
矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是
A.P-1α．
B.PTα．
C.Pα．
-1T
D.(P)α．
（分数：0.50）
A.
B.√
C.
D.
解析：
4.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的
（分数：0.50）
A.充分必要条件．
B.充分而非必要条件．√
C.必要而非充分条件．
D.既非充分也非必要条件．
解析：
5.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似．E为n阶单位矩阵，则
（分数：0.50）
A.λE-A=λE-B．
B.A与B有相同的特征值和特征向量．
C.A与B都相似于一个对角矩阵．
D.对任意常数t，tE-A与tE-B相似．√
解析：
6.设矩阵已知矩阵A相似于B，则r(A-2E)与r(A-E)之和等于
（分数：0.50）
A.2．
B.3．
C.4．√
D.5．
解析：
7.设A，B为同阶可逆矩阵，则
A.AB=BA．
B.存在可逆矩阵P，使p-1AP=B．
T
C.存在可逆矩阵C，使CAC=B．
D.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．
（分数：1.00）
A.
B.
C.
D.√
解析：
二、填空题(总题数：4，分数：8.00)
8.矩阵的非零特征值是1。
（分数：2.00）
解析：4
9.矩阵的非零特征值是1。
（分数：2.00）
解析：4
10.若二次型是正定的，则t的取值范围是1。
（分数：2.00）
解析：
222
11.二次型f(x，x，x)=(x+x)+(x-x)+(x+x)的秩为1。
123122331
（分数：2.00）
解析：2
三、解答题(总题数：28，分数：126.00)
12.求矩阵的实特征值及对应的特征向量．
（分数：3.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：λ=1，对应的特征向量为k(0，2，1)T，k≠0．
设（分数：6.00）
(1).试求矩阵A的特征值．（分数：3.00）
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