考研数学一(线性代数)模拟试卷101(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（线性代数）模拟试卷101(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则()．

A．r＞r1

B．r＜r1

C．r≥r1

D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定

正确答案：C

解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数

2．向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．

A．向量组α1，α2，…，αm，β线性无关

B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+km

αm≠0

C．向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数

D．向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关

正确答案：D

解析：(A)不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，

αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，

β线性无关；(B)不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组

非零常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为

零的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证α1，α2，…，

αm线性无关；(C)不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数

大于其个数，如α1=，α2=线性无关，但其维数等于其个数，选(D)．知识模块：

线性代数

3．设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是()．

A．CTAC

B．A－1+B－1

C．A*+B*

D．A—B

正确答案：D

解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A－1，

B－1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为

C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证

A－1+B－1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)．知识模块：线性代数

4．设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA－1X()．

A．规范形与标准形都不一定相同

B．规范形相同但标准形不一定相同

C．标准形相同但规范形不一定相同

D．规范形和标准形都相同

正确答案：B

解析：因为A与A－1合同，所以XTAX与XTA－1X规范形相同，但标准

形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．知识模块：线性

代数

5．设A是m×n矩阵，且m＞n，下列命题正确的是()．

A．A的行向量组一定线性无关

B．非齐次线性方程组AX=B一定有无穷多组解

C．ATA一定可逆

D．ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n

正确答案：D

解析：若ATA可逆，则r(ATA)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n；反之，

若r(A)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，选(D)．知识模块：线性代数

6．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个

不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．

A．AX=b的通解为k1η1+k2η2

B．η1+η2为AX=b的解

C．方程组AX=0的通解为k(η1一η2)

D．AX=b的通解为k1η1+k2η2+(η1+η2