考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取

为(1)x4，x5(2)x3，x5(3)x1，x5(4)x2，x3那么正确的共有()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

正确答案：B

解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由

于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5

不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可

以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选

B．知识模块：线性方程组

2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么

下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组

Ax=0解的向量共有()

A．4个．

B．3个．

C．2个．

D．1个．

正确答案：A

解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α

1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα

2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2

α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组

3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，

那么下列向量中Ax=0的解向量是()

A．(1，-1，3)T

B．(2，1，-3)T

C．(2，2，-5)T

D．(2，-2，6)T

正确答案：B

解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、

D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2

可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可

见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选

B．知识模块：线性方程组

4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零

解的充分必要条件是()

A．r=n

B．r≥n．

C．r＜n．

D．r＞n．

正确答案：C

解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式

为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性

相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选

C．知识模块：线性方程组

5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四

维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=

β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ

2=(1，1，1，1)T，γ3=(2