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第三章连续型随机变量及其分布第四、五、六节
§3.4二维连续型随机变量及其分布一、联合概率密度函数二、两个常见分布三、边缘概率密度函数
的二元实值函数定义3.2给定随机变量,称定义域为整个平面分布函数.为随机变量的分布函数,或称为与的联合
由定义可知,对平面上任一点,
定理3.3联合分布函数的性质⑴⑵关于或单调不减;⑶关于或右连续的;⑷
⑸对任意的有
例1设二维随机变量的联合分布函数为求常数解由分布函数的性质得:
所以即
一、联合概率密度函数
定义3.4给定一个连续型随机变量,如果存在一个定义在整个平面上的二元非负实值函数,使得那么称为连续型随机变量的联合概率密度函数.
必须满足下列两个条件:⑴⑵
定理3.5连续型随机向量的性质⑴连续,且在的连续点处有⑵对平面内任何一条曲线,有⑶对任意一个平面上的集合,
例2设随机变量的联合概率密度函数为求:⑴参数;⑵概率,其中为由所确定的区域.解⑴由密度函数性质所以
⑵
二、两个常见分布
1.均匀分布设的联合密度函数为其中是平面上某个有界区域,表示其面积,则称服从区域上的均匀分布.
例3设服从区域上的均匀分布,其中试求二次方程无实数根的概率.解因区域的面积为因而相应的密度函数为:方程无实数根
记则所求概率为
2.二维正态分布设为二维连续型随机变量,其密度函数为则称服从参数为的二维正态分布,其中
记作
三、边缘概率密度函数称为随机变量的边缘分布函数;称为随机变量的边缘分布函数.
称为随机变量的边缘密度函数（边缘分布）;称为随机变量的边缘密度函数（边缘分布）.
例4设随机变量的联合密度函数为区域由直线围成,求与的边缘密度函数.解⑴当时,
当或时,,所以由此得到边缘密度函数为同理:⑵当时,
当或时,,所以,由此得到边缘密度函数为
例5试求例2中的边缘密度函数.已知随机变量的密度函数为
解
定理3.6设,则
例6设平面区域由围成,二维随机变量服从区域上的均匀分布,求边缘分布.解区域的面积为因此随机变量的联合概率密度为:
边缘密度函数分别为
§3.5随机变量的相互独立性
及其条件分布
一、随机变量的相互独立性定义3.5如果对一切成立,则称随机变量与相互独立.
在离散情况下,上述定义等价于在连续型的情形,定义等价于下列等式在
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